Artificio 1
\[ A = \frac{B}{D} - C \] \[ A = \frac{B}{D} - \color{purple} \frac{C \cdot D}{D} \] \[ A = \frac{B - C \cdot D}{D} \]

Podés escribirlo como una sola fracción:

\[ A = \frac{B - C \cdot D}{D} \]

¿Por qué? Porque a \( C \) lo convertís en una fracción con el mismo denominador:

\[ C = \frac{C \cdot D}{D} \]

Entonces:

\[ \frac{B}{D} - C = \frac{B}{D} - \frac{C \cdot D}{D} = \frac{B - C \cdot D}{D} \]
Como despejar \(a < x + c < b\) ?
\[ a < x + c < b \] \[ a \color{orange} - c \color{black} < x < b \color{orange} - c \color{black} \]
Como despejar \(a + u < x < b + v\) ?
Esto es equivalente a: \[ \begin{cases} x > a + u\\ x < b + v \end{cases} \] Por lo tanto, despejamos \(x\) de las dos desigualdades:
\[ x > a + u \] \[ x - u > a \]
\[ x < b + v \] \[ x - v < b \]

Calcular máximo común divisor (MCD)

Definición

El Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más números es el mayor número que divide exactamente a todos ellos.

Método 1: Factorización

Descomponer cada número en sus factores primos y tomar los factores comunes con el menor exponente.

Ejemplo con números: \[ \text{MCD}(48, 18) \] Factorización: \[ 48 = 2^4 \cdot 3^1 \] \[ 18 = 2^1 \cdot 3^2 \] Factores comunes con menor exponente: \[ \text{MCD}(48, 18) = 2^1 \cdot 3^1 = 6 \]
Método 2: Algoritmo de Euclides

Para dos números \(a\) y \(b\) (donde \(a \geq b\)):

  1. Divide \(a\) entre \(b\) y obtén el residuo \(r\)
  2. Si \(r = 0\), entonces \(\text{MCD}(a,b) = b\)
  3. Si \(r \neq 0\), reemplaza \(a\) con \(b\) y \(b\) con \(r\), y repite
Ejemplo: \[ \text{MCD}(48, 18) \] \[ 48 = 18 \cdot 2 + 12 \quad \Rightarrow \quad r = 12 \] \[ 18 = 12 \cdot 1 + 6 \quad \Rightarrow \quad r = 6 \] \[ 12 = 6 \cdot 2 + 0 \quad \Rightarrow \quad r = 0 \] \[ \text{MCD}(48, 18) = 6 \]
Método 3: Con expresiones algebraicas

Para expresiones como \(a\pi\) y \(b\pi\):

\[ \text{MCD}(a\pi, b\pi) = \pi \cdot \text{MCD}(a, b) \]
Ejemplo con 2π y π: \[ \text{MCD}(2\pi, \pi) \] Factorizamos: \[ 2\pi = 2 \cdot \pi \] \[ \pi = 1 \cdot \pi \] El mayor factor común es: \[ \text{MCD}(2\pi, \pi) = \pi \cdot \text{MCD}(2, 1) = \pi \cdot 1 = \pi \]
Fórmula alternativa usando MCM

Si conoces el Mínimo Común Múltiplo (MCM):

\[ \text{MCD}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{MCM}(a, b)} \]
Ejemplo: \[ \text{MCM}(2\pi, \pi) = 2\pi \] \[ \text{MCD}(2\pi, \pi) = \frac{2\pi \cdot \pi}{2\pi} = \frac{2\pi^2}{2\pi} = \pi \]
Para Series de Fourier

Cuando tienes frecuencias \(\omega_1, \omega_2, ..., \omega_n\), la frecuencia fundamental es:

\[ \omega_0 = \text{MCD}(\omega_1, \omega_2, ..., \omega_n) \]
Ejemplo práctico:
Para \(x(t) = \sin(2\pi t) + \cos(\pi t + 1)\)
Las frecuencias son: \(2\pi\) y \(\pi\) \[ \omega_0 = \text{MCD}(2\pi, \pi) = \pi \]