Propiedades
Linealidad
\[
ax(t) + by(t) \rightarrow aX(\omega) + bY(\omega)
\]
\[
x(t) = sin(2\pi t) - cos(3\pi t - \pi) + 9
\]
\[
sin(2\pi t) \rightarrow f \rightarrow \frac{\pi}{i}
\left[
\delta(\omega - 2\pi) - \delta(\omega + 3\pi)
\right]
\]
\[
cos(3\pi t - \pi) =
cos
\left(
3\pi
\left(
t
-
\frac{1}{3\pi}
\right)
\right)
\]
\[
t_0 = \frac{\pi}{3\pi} = \frac{1}{3}
\]
\[
cos(\omega_0(t - t_0))
\]
\[
cos(3\pi t - \pi)
=
\frac{1}{2}
\left[
e^{i(3\pi t - \pi)} + e^{-i(3\pi t - \pi)}
\right]
\]
\[
cos(3\pi t - \pi)
=
\frac{1}{2}
e^{-\pi i}
e^{i3\pi t}
+
\frac{1}{2}
e^{\pi i}
e^{-i3\pi t}
\]
\[
= \frac{1}{2}e^{-\pi i}
2\pi \delta(\omega - 3\pi)
+
\frac{1}{2}e^{\pi i}
2\pi \delta(\omega + 3\pi)
\]
\[
X(\omega) = \frac{\pi}{i}
\left[
\delta(\omega - 2\pi) - \delta(\omega + 3\pi)
\right]
-
e^{-\pi i}
\pi \delta(\omega - 3\pi)
-
\pi e^{\pi i}
\delta(\omega + 3\pi)
+
18\pi \delta(\omega)
\]
Desplazamiento
\[
e^{-2(t-5)}
\]
\[
u(t-5) \rightarrow f \rightarrow \frac{1}{2 + i\omega} e^{-5i\omega}
\]
\[
t_0 = 5
\]
\[
e^{-2t} u(t) \rightarrow f \rightarrow \frac{1}{2 + i\omega}
\]
\[
\frac
{1}
{
\left(
5+i(\omega - 2\pi)
\right)^2
}
\rightarrow f^{-1} \rightarrow
\left(
t e^{-5t} u(t)
\right)
e^{i 2\pi t}
\]
Anti transformada
\[
\omega_0 = 2 \pi
\]
\[
\frac
{1}
{5+i(\omega - 2\pi)^2}
\rightarrow f^{-1} \rightarrow
t e^{-5t} u(t)
\]
\[
X(\omega) =
\frac
{e^{3i\omega} }
{5 + i \omega}
\]
\[
X(\omega) =
\frac
{e^{3i\omega} }
{5 + i \omega}
=
e^{3i\omega}
\frac
{1}
{5 + i \omega}
\]
La siguiente expresión es la transformada de la función \(e^{-5t} u(t)\).
\[
\frac
{1}
{5 + i \omega}
\]
\[
X(\omega) =
\frac
{e^{3i\omega} }
{5 + i \omega}
=
e^{-5(t - (-3))} u(t - (-3))
\]
\[
X(\omega) =
\frac
{e^{3i\omega} }
{5 + i \omega}
=
e^{-5(t+3)} u(t + 3)
\]
\[
\delta(\omega - 3) + \delta(\omega + 3)
\]
Se puede hacer:
\[
\delta(\omega - 3) + \delta(\omega + 3)
=
\frac{2\pi}{2\pi}
\delta(\omega - 3)
+
\frac{2\pi}{2\pi}
\delta(\omega + 3)
\]
O también
\[
\frac{\pi}{\pi}
\left[
\delta(\omega - 3) + \delta(\omega + 3)
\right]
\rightarrow f^{-1} \rightarrow
\frac{1}{\pi}
cos(3t)
\]
Otro ejemplo
\[
t^4 e^{-10t} u(t)
\]
\[
4! \frac{t^4}{4!} e^{-10t} u(t)
\rightarrow F \rightarrow
24 \frac{1}{(10 + i\omega)^5}
\]
Propiedad de modulación
\[
x(t) \cdot y(t) \rightarrow F \rightarrow
\frac{1}{2\pi}
X(\omega) * Y(\omega)
\]
El producto en el tiempo es la convolución en la frecuencia.
\[
e^{3i\omega}
\frac
{1}
{5 + i \omega}
\]
\[
e^{3i\omega}
\rightarrow F^{-1} \rightarrow
\delta(t - 3)
\]
\[
\frac{1}{5 + i \omega}
\rightarrow F^{-1} \rightarrow
e^{-5t} u(t)
\]
En la frecuencia es
convolución
\[
\delta(\omega - 3)
\color{orange} * \color{black}
e^{-5t}u(t)
\]
Un producto siempre se transforma en una convolución.
Esa va a ser una de las trampas del examen
\[
cos(5t)
\frac
{sin (t)}
{\pi t}
\]
\[
cos(5t)
\rightarrow F \rightarrow
\pi
\left[
\delta(\omega - 5) + \delta(\omega + 5)
\right]
\]
\[
sinc = \frac{sin(W t)}{\pi t}
\rightarrow
\begin{cases}
1, & -W < \omega < W \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
\]
Cuando se pide moduluacion se pide la transformada de la expresión
Puede ser hecho de manera gráfica o analítica.
(Ver fotos)
Propiedad de convolución
Encontrar la salida de un sistema
\[
x(t)*y(t)
\rightarrow F \rightarrow
X(\omega)Y(\omega)
\]
\[
x(t)
=
cos(2\pi t)
+
sin(6\pi t)
+
8
\]
\[
h(t) =
\frac
{sin(4\pi t)}
{\pi t}
\]
Encontrar
\[
y(t) = x(t) * h(t)
\]
\[
Y(\omega) = X(\omega)H(\omega)
\]
Lo que se va a pedir es la salida del sistema en \(y(t)\),
es decir que al final se tiene que aplicar la antitransformada
\[
X(\omega) =
\pi
\left[
\delta(\omega - 2\pi) + \delta(\omega + 2\pi)
\right]
+
\frac{\pi}{i}
\left[
\delta(\omega - 6\pi) + \delta(\omega + 6\pi)
\right]
+
16\pi \delta(\omega)
\]
H es un sinc por lo tanto es un escalón acotado
\[
H(\omega) =
u(\omega + 4\pi)
-
u(\omega - 4\pi)
\]
Recomendación: Plantear gráficamente las señales
Ahora se tiene que hacer un producto
\[
Y(\omega) = X(\omega)H(\omega)
\]