Encontrar la transformada de Fourier de la siguiente señal

\[ x(t) = e^{2t} u(-t) \]

Reemplazar \(x(t)\) en la formula de Fourier
\[ x(t) \rightarrow F \rightarrow X(\omega) \] \[ X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \color{purple}x(t) \color{black} e^{-j \omega t} \, dt \] \[ X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \color{purple}e^{2t} u(-t) \color{black} e^{-j \omega t} \, dt \] La reflexión \(u(-t)\) hace que para \(t \leq 0 \rightarrow x(t) = 1 \cdot e^{2t}\) entonces los límites nos quedan entre \(-\infty\) y \(0\) \[ X(\omega) = \int_{-\infty}^{0} e^{2t} 1 \cdot e^{-j \omega t} \, dt \] \[ X(\omega) = \int_{-\infty}^{0} e^{2t} e^{-j \omega t} \, dt \] Resolver integral: \[ X(\omega) = \Big|^{0}_{-\infty} \]

Por la propiedad \(e^xe^y=e^{x+y}\) de los exponenciales, podemos escribir: \[ X(\omega) = \int_{-\infty}^{0} e^{2t - j \omega t} \, dt \] \[ X(\omega) = \int_{-\infty}^{0} e^{t(2 - j \omega)} \, dt \] Integrales: \[ \int (e^v)v' = e^v + C \] Si \(t(2 - j \omega)\) es \(v\) entonces: \[ \color{green} v = tk \] \[ \color{orange} v' = k \] \[ \color{orange} v' = (2 - j \omega) \] Agregamos un artificio mátematica para armar la integral inmediata sin modificar la función: \[ \color{gray}\frac{ (2 - j \omega)}{ (2 - j \omega)} \] \[ X(\omega) = \int_{-\infty}^{0} e^{ \color{green} t(2 - j \omega)} \frac{ \color{orange} (2 - j \omega)}{ \color{black} (2 - j \omega)}\, dt \] \[ X(\omega) = \frac{1}{2 - j \omega}\int_{-\infty}^{0} e^{ t(2 - j \omega)} (2 - j \omega)\, dt \] Aplicando la integral inmediata nos queda: \[ X(\omega) = \frac{1}{2 - j \omega} e^{ t(2 - j \omega)} \Big|^{0}_{-\infty} \] \[ X(\omega) = \frac{e^{ t(2 - j \omega)}}{2 - j \omega} \Big|^{0}_{-\infty} \] Evaluamos los límites reemplazando los valores de \(t\) \[ X(\omega) = \frac{e^{ 0(2 - j \omega)}}{2 - j \omega} - \frac{e^{ -\infty(2 - j \omega)}}{2 - j \omega} \] Dado que \(e^{-\infty}\) es 0, nos queda: \[ \color{lime}\boxed{ \color{black}X(\omega) = \frac{1}{2 - j \omega} } \]