Siendo:
\( \color{orange} x(t) = e^{-2(t+2)}u(t-4)\)
\( \color{purple} h(t) = e^{-t}[u(t+1)-u(t-1)] + \delta(t-3)\)
calcular la salida \(y(t)\) a partir de la convolución

1) Dibujamos las señales
Señales x(t) y h(t)
2) Elegimos que señal vamos a dejar fija.

Dado que \( \color{orange} x(t) \) tiene una exponencial más larga y es un poco más compleja, la dejamos fija y reflejamos \( \color{purple} h(t) \), quedando \( \color{purple} h(-t) \).

Señal h(t) reflejada
Explicación de las \(t\)

Calculamos intervalos

Intervalo 1

Cuando \(t + 1 < 4\)
Si despejamos nos queda:
\(t < 4 - 1\)
\(t < 3\)

Intervalo 1 \(y(t) = 0\) porque no se cruzan
Intervalo 2

Cuando \(t - 1 < 4 < t + 1 \) \[ \begin{cases} t - 1 < 4 \\ t + 1 > 4 \end{cases} \] Despejamos ambas desigualdades:

\[ t - 1 < 4 \] \[ t < 5 \]
\[ t + 1 > 4 \] \[ t > 3 \]
Por lo tanto nos queda: \(3 < t < 5\)

Procedemos a calcular la integral: \[ y(t) = \int_{4}^{t + 1} \color{orange} x(\tau) \color{black} \color{purple} h(t - \tau) \color{black} d\tau \] \[ y(t) = \int_{4}^{t + 1} \color{orange} e^{-2(\tau+2)}u(\tau - 4) \color{black} \color{purple} e^{-(t - \tau)}[u((t - \tau) + 1) -u((t - \tau) - 1)] + \delta((t - \tau) - 3) \color{black} d\tau \] \[ y(t) = \int_{4}^{t + 1} \color{orange} e^{-2(\tau + 2)}1 \color{black} \color{purple} e^{-(t - \tau)}1 \color{black} d\tau \] \[ y(t) = \int_{4}^{t + 1} \color{orange} e^{-2(\tau + 2)} \color{black} \color{purple} e^{-(t - \tau)} \color{black} d\tau \] Simplificamos la integral y sacamos afuera lo que no depende de \(\tau\). \[ y(t) = \int_{4}^{t + 1} e^{-2\tau - 4} e^{-t + \tau} d\tau \] \[ y(t) = \int_{4}^{t + 1} e^{-2\tau - 4 -t + \tau} d\tau \] \[ y(t) = \int_{4}^{t + 1} e^{-\tau - 4 - t} d\tau \] \[ y(t) = \int_{4}^{t + 1} e^{- 4 - t} e^{-\tau} d\tau \] \[ y(t) = e^{- 4 - t} \int_{4}^{t + 1} e^{-\tau} d\tau \] La forma de la integral es: \[ y = \int e^u \cdot u' dx = e^u + c \] Donde: \[ u = -\tau \] \[ u' = -1 \] Falta el \(-1\) en el integrando, por lo tanto hacemos un artificio matemático: \[ y(t) = e^{- 4 - t} \color{blue}(-1) \color{black} \int_{4}^{t + 1} e^{-\tau} \color{blue}(-1) \color{black} d\tau \] \[ y(t) = e^{- 4 - t} \left[- e^{-\tau} \right]_{4}^{t + 1} \] \[ \color{limegreen} \boxed{ \color{black} y(t) = e^{- 4 - t} \left(-e^{-4} - (-e^{-(t + 1)})\right) } \]
Intervalo 3
Cuando \(t - 1 > 4\) y \(t - 3 < 4\)
Despejando nos queda \(t > 5\) y \(t < 7\)
\(5 < t < 7\)
\[ y(t) = \int_{t - 1}^{t + 1} \color{orange} x(\tau) \color{black} \color{purple} h(t - \tau) \color{black} d\tau \] \[ y(t) = \int_{t - 1}^{t + 1} \color{orange} e^{-2(\tau + 2)}u(\tau - 4)\color{black} \color{purple} e^{-(t - \tau)}[u(t+1)-u(t-1)] + \delta(t-3) \color{black} d\tau \] \[ y(t) = \int_{t - 1}^{t + 1} \color{orange} e^{-2(\tau + 2)}1\color{black} \color{purple} e^{-t + \tau}1 \color{black} d\tau \] \[ y(t) = \int_{t - 1}^{t + 1} \color{orange} e^{-2(\tau + 2)}\color{black} \color{purple} e^{-t + \tau} \color{black} d\tau \] Agrupamos: \[ y(t) = \int_{t - 1}^{t + 1} e^{-2(\tau + 2) + (-t + \tau)} d\tau \] \[ y(t) = \int_{t - 1}^{t + 1} e^{-2\tau - 4 -t + \tau} d\tau \] \[ y(t) = \int_{t - 1}^{t + 1} e^{-\tau - 4 - t} d\tau \] Reagrupamos de nuevo: \[ y(t) = \int_{t - 1}^{t + 1} e^{- 4 - t} e^{-\tau} d\tau \] Sacamos afuera lo que no depende de \(\tau\). \[ y(t) = e^{- 4 - t} \int_{t - 1}^{t + 1} e^{-\tau} d\tau \] Resolvemos la integral:
\[ \int e^u \cdot u' dx = e^u + c \] Donde: \(u = -\tau\)
Dado que la derivada de \(y = x\) es \(y' = 1\), entonces:
\(u' = -1\)
Para que la integral nos quede igual utilizamos un artificio matemático: \[ y(t) = e^{- 4 - t} \color{blue}(-1) \color{black} \int_{t - 1}^{t + 1} e^{-\tau} \color{blue}(-1) \color{black} d\tau \] \[ y(t) = e^{- 4 - t} (-1) \left[ e^{-\tau} \right]_{t - 1}^{t + 1} \] \[ \color{limegreen} \boxed{ \color{black} y(t) = -e^{- 4 - t} \left[ e^{-(t + 1)} - e^{-(t - 1)} \right] } \]
Intervalo 4
Cuando \(t - 3 > 4\)
\(t > 7\)
\[ y(t) = \int_{t - 3}^{t + 1} \color{orange} x(\tau) \color{black} \color{purple} h(t - \tau) \color{black} d\tau \] \[ y(t) = \int_{t - 3}^{t + 1} \color{orange} e^{-2(\tau + 2)}1 \color{black} \color{purple} (e^{-(t - \tau)}1 + \delta(t - \tau - 3)) \color{black} d\tau \] \[ y(t) = \int_{t - 3}^{t + 1} e^{-2(\tau + 2)}e^{-(t - \tau)} + e^{-2(\tau + 2)}\delta(t - \tau - 3) d\tau \] \[ y(t) = \int_{t - 1}^{t + 1} e^{-2(\tau + 2)}e^{-(t - \tau)} d\tau + \int_{t - 3} e^{-2(\tau + 2)} \delta(t - \tau - 3) d\tau \] \[ y(t) = \int_{t - 1}^{t + 1} e^{-2(\tau + 2)}e^{-(t - \tau)} d\tau + \int_{t - 3} e^{-2\tau -4} \delta(t - \tau - 3) d\tau \] Resolvemos el impulso utlizando la siguiente propiedad: \[ x(t) \cdot \delta(t - t_0) = x(t - t_0) \]

Resources

Ver explicación de la integración del producto del impulso por una señal
\[ y(t) = \int_{t - 1}^{t + 1} e^{-2\tau - 4}e^{-t + \tau} d\tau + e^{-2(t - 3) -4} \] \[ y(t) = \int_{t - 1}^{t + 1} e^{-2\tau - 4 - t + \tau} d\tau + e^{-2t + 6 -4} \] \[ y(t) = \int_{t - 1}^{t + 1} e^{-\tau - 4 - t} d\tau + e^{-2t + 2} \] \[ y(t) = \int_{t - 1}^{t + 1} e^{-\tau} e^{- 4 - t} d\tau + e^{-2t + 2} \] \[ y(t) = e^{- 4 - t} \int_{t - 1}^{t + 1} e^{-\tau} d\tau + e^{-2t + 2} \] \[ y(t) = e^{- 4 - t} (-1) \int_{t - 1}^{t + 1} e^{-\tau} (-1) d\tau + e^{-2t + 2} \] \[ y(t) = e^{- 4 - t} (-1) \left[ e^{-\tau} \right]_{t - 1}^{t + 1} + e^{-2t + 2} \] \[ \color{limegreen} \boxed{ \color{black} y(t) = -e^{- 4 - t} \left[ e^{-(t + 1)} - e^{-(t - 1)} \right] + e^{-2t + 2} } \]
La función nos queda: \[ \color{limegreen} \boxed{ \color{black} y(t) = \begin{cases} t < 3, & y(t) = 0 \\ 3 < t < 5, & y(t) = e^{- 4 - t} \left(-e^{-4} - (-e^{-(t + 1)})\right) \\ 5 < t < 7, & y(t) = -e^{- 4 - t} \left[e^{-(t + 1)} - e^{-(t - 1)}\right] \\ t > 7, & y(t) = -e^{- 4 - t} \left[e^{-(t + 1)} - e^{-(t - 1)}\right] + e^{-2t + 2} \end{cases} } \]