Realizar convolución entre una señal cualquiera y otra señal que contiene un impulso
\[
h(t) = \delta(t) + \delta(t + 1) - \delta(t - 3)
\]
1) Reflejamos la señal \( \color{orange} h(t) \color{black}\) ya que es la mas sencilla,
y dibujamos ambas señales en el eje \(\tau\)
Intervalo 1
Cuando \(t + 1 < 0\)
\[
\boxed{
y(t) = 0
}
\]
Intervalo 2
Cuando \(0 < t + 1 < 1\)
Si despejamos nos queda que \( -1 < t < 0 \)
En este caso es solo un punto el que hace contacto con la otra señal,
por lo tanto la integral se puede armar de dos formas:
a) Integral con limites infinitos
Cuando se resuelve la integral solo se termina encontrando un punto
\[
y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}
\color{purple}x(\tau) \color{black} \cdot
\color{orange} h(t - \tau) \color{black}, d\tau
\]
b) Colocar el valor donde está el impulso
\[
y(t) = \int_{t + 1}
\color{purple}x(\tau) \color{black} \cdot
\color{orange} h(t - \tau) \color{black}, d\tau
\]
Significa que la integral va a suceder únicamente en ese punto en particular
Usamos en este caso la segunda opción
\[
y(t) = \int_{t + 1}
\color{purple}x(\tau) \color{black} \cdot
\color{orange} h(t - \tau) \color{black} d\tau
\]
\[
y(t) = \int_{t + 1}
\color{purple}x(\tau) \color{black} \cdot
\color{orange} (\delta(t - \tau) + \delta(t - \tau + 1) - \delta(t - \tau - 3)) \color{black} d\tau
\]
-
\( \color{purple}x(\tau) \color{black}\) en este punto vale \(\tau\)
-
\( \color{orange} h(t - \tau) \color{black}\) en este punto vale \(\delta(t - \tau + 1)\)
\[
y(t) = \int_{t + 1}
\color{purple}x(\tau) \color{black} \cdot
\color{orange} (0 + \delta(t - \tau + 1) - 0) \color{black} d\tau
\]
\[
y(t) = \int_{t + 1}
\color{purple}\tau \color{black} \cdot
\color{orange} \delta(t - \tau + 1) \color{black} d\tau
\]
\[
y(t) = \int_{t + 1}
\color{purple}\tau \color{black} \cdot
\color{orange} 1 \color{black} d\tau
\]
\[
y(t) = \tau \Big|^{}_{t + 1}
\]
\[
\boxed{
y(t) = t + 1
}
\]
Intervalo 3
Se pueden usar dos condicionantes válidos:
- Cuando \(1 < t + 1 < 3\)
- Cuando \( 0 < t < 1 \)
La elección queda a nuestro criterio. Elegimos la que nos haga
mas facil la visualización
Elejimos el condicionante cuando \(1 < t + 1 < 3\)
Si despejamos nos queda que
\(
1 \color{orange} - 1 \color{black}
< t <
3 \color{orange} - 1 \color{black}
\)
\( 0 < t < 2 \)
Resources
Basics: como despejar \(a < x - c < b\)
En este caso son dos integrales, una por cada punto
\[
y(t) =
\int_{t}
\color{purple} x(\tau) \color{black}
\color{orange} h(t - \tau) \color{black}
d\tau
+
\int_{t + 1}
\color{purple} x(\tau) \color{black}
\color{orange} h(t - \tau) \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\int_{t}
\color{purple} \tau \color{black}
\color{orange} \delta(t - \tau) \color{black}
d\tau
+
\int_{t + 1}
\color{purple} 1 \color{black}
\color{orange}\delta(t - \tau + 1) \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\int_{t}
\color{purple} \tau \color{black}
\color{orange} \delta(t - \tau) \color{black}
d\tau
+
\int_{t + 1}
\color{orange}\delta(t - \tau + 1) \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\color{purple}\tau \color{black} \cdot
\color{orange} 1 \color{black}
\Big|^{}_{t}
+
\color{orange} 1 \color{black}
\Big|^{}_{t + 1}
\]
\[
\boxed{
y(t) = t + 1
}
\]
Intervalo 4
Cuando \(t + 1 < 3 \land t > 1 \)
Si despejamos nos queda que \( 1 < t < 2 \)
\[
y(t) =
\int^{}_{t}
\color{purple} x(\tau) \color{black}
\color{orange} h(t - \tau) \color{black}
d\tau
+
\int^{}_{t + 1}
\color{purple} x(\tau) \color{black}
\color{orange} h(t - \tau) \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\int^{}_{t}
\color{purple} 1 \color{black}
\color{orange} \delta(t - \tau)\color{black}
d\tau
+
\int^{}_{t + 1}
\color{purple} 1 \color{black}
\color{orange} h(t - \tau + 1) \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\int^{}_{t}
\color{orange} \delta(t - \tau)\color{black}
d\tau
+
\int^{}_{t + 1}
\color{orange} h(t - \tau + 1) \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
1 \Big|^{}_{t}
+
1 \Big|^{}_{t + 1}
\]
\[
\boxed{
y(t) = 2
}
\]
Intervalo 5
Cuando \(t + 1 > 3 \land 1 < t < 3\)
Si despejamos nos queda:
\(t > 3 - 1\)
\(t > 2\)
Se reemplaza la condición \(1 < t\) por \(t > 2\)
en \(\color{orange} 1 < t \color{black}< 3\)
\(2 < t < 3\)
\[
y(t) =
\int^{}_{t}
\color{purple} x(\tau) \color{black}
\color{orange} h(t - \tau) \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\int^{}_{t}
\color{purple} 1\color{black}
\color{orange} \delta(t - \tau) \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\int^{}_{t}
\color{orange} \delta(t - \tau) \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) = 1 \Big|^{}_{t}
\]
\[
\boxed{
y(t) = 1
}
\]
Intervalo 6
Cuando \(0 < t - 3 < 1 \)
Si despejamos:
\( 3 < t < 1 + 3\)
\( 3 < t < 4\)
\[
y(t) =
\int^{}_{t - 3}
\color{purple} x(\tau) \color{black}
\color{orange} h(t - \tau) \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\int^{}_{t - 3}
\color{purple} \tau \color{black}
\color{orange} \delta(t - \tau - 3) \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\color{purple} \tau \color{black}
\color{orange} (-1) \color{black}
\Big|^{}_{t - 3}
\]
\[
y(t) =
\color{purple} (t - 3) \color{black}
\color{orange} (-1) \color{black}
\Big|^{}_{t - 3}
\]
\[
\boxed{
y(t) = -t + 3
}
\]
Intervalo 7
Cuando \(1 < t - 3 < 3 \)
Si despejamos nos queda
\(1 + 3 < t < 3 + 3\)
\(4 < t < 6\)
\[
y(t) =
\int^{}_{t - 3}
\color{purple} x(\tau) \color{black}
\color{orange} h(t - \tau) \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\int^{}_{t - 3}
\color{purple} 1 \color{black}
\color{orange} -1 \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\int^{}_{t - 3}
\color{orange} -1 \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
-1
\Big|^{}_{t - 3}
\]
\[
\boxed{
y(t) = -1
}
\]
Intervalo 8
Cuando \(t - 3 > 3 \)
Si despejamos nos queda \(t > 6\)
\[
\boxed{
y(t) = 0
}
\]
Unir todos los resultados
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
y(t) =
\begin{cases}
0 & t < -1 \\
t + 1 & -1 < t < 0 \\
t + 1 & 0 < t < 1 \\
2 & 1 < t < 2 \\
1 & 2 < t < 3 \\
-t + 3 & 3 < t < 4 \\
-1 & 4 < t < 6 \\
0 & t > 6
\end{cases}
}
\]
