a) Resolver la convolción entre las siguientes señales: \[ y(t) = x(t) * h(t) \] \[ x(t) = \begin{cases} 1, 0 < t < 1 \\ 4t, 1 < t < 3 \end{cases} \] \[ h(t) = \delta(t - 1) + \delta(t + 2) \] b) Evaluar la salida en:

Desarrollo

1) Dibujamos las señales

2) Reflejamos \(h(t)\) y comenzamos a resolver la integral

Intervalo 1

Cuando \(t+2 < 0\)
\(t < -2\)
\[ \color{limegreen} \boxed{ \color{black} y(t) = 0 } \]

Intervalo 2

Cuando \(0 < t + 2 < 1\)
\(-2 < t < 1 - 2\)
\(-2 < t < -1\)
\[ y(t) = \int_{0}^{t+2} \color{purple} x(\tau) \color{black} \color{orange} h(t - \tau) \color{black} d\tau \] \[ y(t) = \int_{0}^{t+2} \color{purple} 1 \color{black} \color{orange} \delta(t - \tau + 2)\color{black} d\tau \] La integral de un impulso es 1, por lo tanto: \[ \color{limegreen} \boxed{ \color{black} y(t) = 1 } \]

Resources

Explicación de la integral de un impulso

Intervalo 3

Cuando \(1 < t + 2 < 3\)
\(1 - 2 < t < 3 - 2\)
\(-1 < t < 1\)
\[ y(t) = \int_{1}^{t + 2} \color{purple} x(\tau) \color{black} \color{orange} h(t - \tau) \color{black} d\tau \] \[ y(t) = \int_{1}^{t + 2} \color{purple} 4\tau \color{black} \color{orange} \delta(t - \tau + 2)\color{black} d\tau \] Usamos la siguiente propiedad del impulso para resolver la integral: \[ x(t) \cdot \delta(t - t_0) = x(t - t_0) \] Nos queda: \[ \color{limegreen} \boxed{ \color{black} y(t) = 4(t + 2) } \]

Intervalo 4

Cuando \(0 < t - 1 < 1\)
\(1 < t < 2\)
\[ y(t) = \int_{0}^{t - 1} \color{purple} 1 \color{black} \color{orange} \delta(t - \tau - 1) \color{black} d\tau \] \[ \color{limegreen} \boxed{ \color{black} y(t) = 1 } \]

Intervalo 5

Cuando \(1 < t - 1 < 3\)
\(1 + 1 < t < 3 + 1\)
\(2 < t < 4\)
\[ y(t) = \int_{1}^{t - 1} \color{purple} 4t \color{black} \color{orange} \delta(t - \tau - 1) \color{black} d\tau \] \[ \color{limegreen} \boxed{ \color{black} y(t) = 4(t - 1) } \]

Intervalo 6

Cuando \(t - 1 > 3\)
\(t > 4\)
\[ \color{limegreen} \boxed{ \color{black} y(t) = 0 } \]

3) Finalmente escribimos la salida \(y(t)\)

\[ \color{limegreen} \boxed{ \color{black} y(t) = \begin{cases} t < -2, & 0 \\ -2 < t < 1, & 1 \\ -1 < t < 1, & 4(t + 2) \\ 1 < t < 2, & 1 \\ 2 < t < 4, & 4(t - 1) \\ t > 4, & 0 \\ \end{cases} } \]

4) Evaluamos la salida en los valores dados

\(y(0) = 4 \cdot (0 + 2)\)
\(y(0) = 0 + 8\)
\( \color{limegreen} \boxed{ \color{black} y(0) = 8 } \)

\(y(2.5) = 4 \cdot (2.5 - 1)\)
\(y(2.5) = 4 \cdot 1.5\)
\( \color{limegreen} \boxed{ \color{black} y(2.5) = 6 } \)

\( \color{limegreen} \boxed{ \color{black} y(-1) \text{ no está definida porque los intervalores que la comparten no dan lo mismo } } \)

\(y(-10) = 0\)
\( \color{limegreen} \boxed{ \color{black} y(-10) = 0 } \)

\(y(0.5) = 4 \cdot (0.5 + 2)\)
\(y(0.5) = 4 \cdot 2.5\)
\( \color{limegreen} \boxed{ \color{black} y(0.5) = 10 } \)