Resolver la convolución \(y(t) = x(t) * h(t)\) entre las siguientes señales:
\[
x(t) = e^{-3t} u(t)
\]
\[
h(t) = u(-t + 3)
\]
Desarrollo
1) Dibujamos las señales
Señal \(x(t)\)
Señal \(h(-t + 3)\)
Esta señal contiene dos operaciones, un desplazamiento y una reflexión.
Las operaciones se tienen que hacer en orden, primero el desplazamiento y después la reflexión o el escalamiento.
Comenzamos con el desplazamiento
Continuamos con la reflexión
2) Reflejamos \(h(-t + 3)\) y comenzamos a resolver la integral
\[
h(-t) = u(-(-t + 3))
\]
\[
h(-t) = u(t - 3)
\]
Intervalo 1
Cuando \(t - 3 < 0\)
\(t < 3\)
Se toman los límites de integración desde que ambas señales son diferentes de 0.
\[
y(t) =
\int_{0}^{+\infty}
\color{purple} x(\tau) \color{black}
\color{orange} h(t - \tau) \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\int_{0}^{+\infty}
\color{purple} e^{-3\tau} u(\tau) \color{black}
\color{orange} u(-(t - \tau) + 3) \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\int_{0}^{+\infty}
\color{purple} e^{-3\tau} 1 \color{black} \cdot
\color{orange} 1 \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\int_{0}^{+\infty}
e^{-3\tau}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\frac{1}{-3}
\int_{0}^{+\infty}
e^{-3\tau}
(-3)
d\tau
\]
\[
y(t) = \frac{1}{-3} \left[e^{-3\tau}\right]_{0}^{+\infty}
\]
\[
y(t) = \frac{1}{-3} \left[e^{-3\infty}- e^{-3\cdot 0}\right]
\]
\[
y(t) = \frac{1}{-3} \left[0 - 1\right]
\]
\[
y(t) = \frac{1}{-3}(-1)
\]
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
y(t) = \frac{1}{3}
}
\]
Intervalo 2
Cuando \(t - 3 > 0\)
\(t > 3\)
\[
y(t) =
\int_{t-3}^{\infty}
\color{purple} x(\tau) \color{black}
\color{orange} h(t - \tau) \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\int_{t-3}^{\infty}
\color{purple} e^{-3\tau} u(\tau) \color{black}
\color{orange} u(-(t - \tau) + 3) \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\int_{t-3}^{\infty}
\color{purple} e^{-3\tau} 1 \color{black}
\color{orange} u(-t + \tau + 3) \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\int_{t-3}^{\infty}
\color{purple} e^{-3\tau} \color{black}
\color{orange} 1\color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\int_{t-3}^{\infty}
e^{-3\tau}
d\tau
\]
Debemos resolver la integral con forma:
\[
\int e^u\,u'\,dx = e^u + C
\]
\(u = -3\tau\)
\(u' = -3\)
\[
y(t) =
\frac{1}{-3}
\int_{t-3}^{\infty}
e^{-3\tau} (-3)
d\tau
\]
\[
y(t) = \frac{1}{-3} \left[e^{-3\tau}\right]_{t-3}^{\infty}
\]
\[
y(t) = \frac{1}{-3} \left[e^{-3\infty} - e^{-3(t-3)}\right]
\]
\[
y(t) = \frac{1}{-3} \left[0 - e^{-3(t-3)}\right]
\]
\[
y(t) = \frac{1}{-3}(-e^{-3(t-3)})
\]
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
y(t) = \frac{1}{3}e^{-3(t-3)}
}
\]
Finalmente la salida nos queda de la siguiente manera:
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
y(t) =
\begin{cases}
\frac{1}{3} & t < 3 \\
\frac{1}{3}e^{-3(t-3)} & t > 3 \\
\end{cases}
}
\]
b) Es causal? porque?
Si, porque el puntero mas lejano que tenemos es \(t\)
