a) Resolver el siguiente sistema LTI
\[
x(t) = 3[u(t + 1) - u(t - 1)]
\]
\[
h(t) = e^{2t}u(t)
\]
b) Es causal el sistema? Por que?
2) Reflejamos una de las señales y comenzamos a resolver la integral
La señal mas simple para reflejar es \(x(t)\) pero por cuestiones de ejercitación, en este caso reflejaremos \(h(t)\)
Intervalo 1
Cuando \(t < -1\)
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
y(t) = 0
}
\]
Intervalo 2
Cuando \(-1 < t < 1\)
\[
y(t) = \int_{-1}^{t}
\color{purple} 3[u(\tau + 1) - u(\tau - 1)] \color{black}
\color{orange} e^{2(t - \tau)}u(t - \tau) \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) = \int_{-1}^{t}
\color{purple} 3 \cdot 1 \color{black}
\color{orange} e^{2(t - \tau)}1 \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) = 3\int_{-1}^{t}
e^{2(t - \tau)}
d\tau
\]
\[
y(t) = 3\int_{-1}^{t}
e^{2t - 2\tau}
d\tau
\]
\[
y(t) = 3\int_{-1}^{t}
e^{2t}e^{-2\tau}
d\tau
\]
Sacamos afuera lo que no depende de \(\tau\).
\[
y(t) = 3e^{2t}\int_{-1}^{t}
e^{-2\tau}
d\tau
\]
Hacemos un artificio matemático para armar la forma de la integral que se puede resolver.
\[
y(t) =
3e^{2t}
\color{blue} \frac{1}{-2}
\color{black}
\int_{-1}^{t}
e^{-2\tau}
\color{blue} (-2) \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
3e^{2t}
\frac{1}{-2}
\left[e^{-2\tau}\right]_{-1}^{t}
\]
\[
y(t) =
3e^{2t}
\frac{1}{-2}
\left[e^{-2t} - e^{-2(-1)}\right]_{-1}^{t}
\]
\[
y(t) =
3e^{2t}
\frac{1}{-2}
\left[e^{-2t} - e^{-2(-1)}\right]
\]
\[
y(t) =
3e^{2t}
\frac{1}{-2}
\left[e^{-2t} - e^{2}\right]
\]
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
y(t) =
\frac{3e^{2t}}{-2}
\left[
e^{-2t} - e^{2}
\right]
}
\]
Intervalo 3
Cuando \(t > 1\)
Para \(t > 1\) la señal reflejada \(h(t - \tau)\) cubre todo el pulso \(x(\tau)\) en \([-1, 1]\). Los límites de integración son \(\tau = -1\) y \(\tau = 1\).
\[
y(t) = \int_{-1}^{1}
\color{purple} 3[u(\tau + 1) - u(\tau - 1)] \color{black}
\color{orange} e^{2(t - \tau)}u(t - \tau) \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) = \int_{-1}^{1}
\color{purple} 3 \cdot 1 \color{black}
\color{orange} e^{2(t - \tau)} \cdot 1 \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) = 3\int_{-1}^{1}
e^{2(t - \tau)}
d\tau
\]
\[
y(t) = 3e^{2t}\int_{-1}^{1}
e^{-2\tau}
d\tau
\]
\[
y(t) = 3e^{2t}
\frac{1}{-2}
\left[e^{-2\tau}\right]_{-1}^{1}
\]
\[
y(t) = 3e^{2t}
\frac{1}{-2}
\left[e^{-2} - e^{2}\right]
\]
\[
y(t) = \frac{3e^{2t}}{2}
\left[e^{2} - e^{-2}\right]
\]
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
y(t) = \frac{3}{2}\,e^{2t}\left(e^{2} - e^{-2}\right)
}
\]
Finalmente la salida nos queda de la siguiente manera:
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
y(t) =
\begin{cases}
0 & t < -1 \\
\frac{3e^{2t}}{-2}
\left[e^{-2t} - e^{2}\right] & -1 < t < 1 \\
\frac{3}{2}\,e^{2t}\left(e^{2} - e^{-2}\right) & t > 1 \\
\end{cases}
}
\]
