Realizar la convolución de las siguientes señales:
\[
x(t) = e^{-3t}u(t - 1) + e^{-2t}u(t + 1)
\]
\[
h(t) = 2[u(t) - u(t - 1)]
\]
Desarrollo
1) Dibujamos las señales
Señal \(x(t)\)
Señal \(h(t)\)
2) Reflejamos \(h(t)\) y comenzamos a resolver la integral
Intervalo 1
Cuando \(t < -1\)
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
y(t) = 0
}
\]
Intervalo 2
Cuando \(-1 < t < 0\)
\[
y(t) =\int_{-1}^{t}
\color{purple} x(\tau) \color{black}
\color{orange} h(t - \tau) \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) = \int_{-1}^{t}
\color{purple}
\left(
e^{-3\tau}u(\tau - 1) + e^{-2\tau}u(\tau + 1)
\right)
\color{black}
\color{orange}
2[u(t - \tau) - u(t - \tau - 1)]
\color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\int_{-1}^{t}
\color{purple}
\left(
e^{-3\tau}0 + e^{-2\tau}1
\right)
\color{black}
\color{orange} 2\color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\int_{-1}^{t}
e^{-2\tau}
2
d\tau
\]
\[
y(t) =
2 \cdot
\color{blue} (\frac{1}{-2})\color{black}
\int_{-1}^{t}
e^{-2\tau}
\color{blue} (-2) \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\frac{2}{-2}
\left[e^{-2\tau}\right]_{-1}^{t}
\]
\[
y(t) =
-1
\left[
e^{-2t} - e^{-2(-1)}
\right]
\]
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
y(t) =
-
\left[
e^{-2t} - e^{2}
\right]
}
\]
Intervalo 3
Cuando \(t < 1 \land t - 1 > -1\)
\(t < 1 \land t > -1 + 1\)
\(t < 1 \land t > 0\)
\(0 < t < 1\)
\[
y(t) =
\int_{t - 1}^{t}
\color{purple} x(\tau) \color{black}
\color{orange} h(t - \tau) \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\int_{t - 1}^{t}
\color{purple}
\left(
e^{-3\tau}0 + e^{-2\tau}1
\right)
\color{black}
\color{orange}
2[u(t - \tau) - u(t - \tau - 1)]
\color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\int_{t - 1}^{t}
\color{purple}
\left(
e^{-2\tau}
\right)
\color{black}
\color{orange}
2\cdot1
\color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\int_{t - 1}^{t}
\color{purple}
e^{-2\tau}
\color{black}
\color{orange}
2
\color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\frac{2}{-2}
\int_{t - 1}^{t}
e^{-2\tau}
(-2)
d\tau
\]
\[
y(t) =
-1
\left[e^{-2\tau}\right]_{t - 1}^{t}
\]
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
y(t) =
-
\left[e^{-2t} - e^{-2(t - 1)}\right]
}
\]
Intervalo 4
Cuando \(t - 1 < 1 \land t > 1\)
\(t < 2 \land t > 1\)
\(1 < t < 2\)
\[
y(t) =
\int_{t - 1}^{1}
\color{purple} x(\tau) \color{black}
\color{orange} h(t - \tau) \color{black}
d\tau
+
\int_{1}^{t}
\color{purple} x(\tau) \color{black}
\color{orange} h(t - \tau) \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\int_{t - 1}^{1}
\color{purple}
\left(
e^{-3\tau}0 + e^{-2\tau}1
\right)
\color{black}
\color{orange}
2
\color{black}
d\tau
+
\int_{1}^{t}
\color{purple}
\left(
e^{-3\tau}1 + e^{-2\tau}0
\right)
\color{black}
\color{orange}
2
\color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\int_{t - 1}^{1}
\color{purple}
e^{-2\tau}
\color{black}
\color{orange}
2
\color{black}
d\tau
+
\int_{1}^{t}
\color{purple}
e^{-3\tau}
\color{black}
\color{orange}
2
\color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\frac{2}{-2}
\left[e^{-2\tau}\right]_{t - 1}^{1}
+
\frac{2}{-3}
\left[e^{-3\tau}\right]_{1}^{t}
\]
\[
y(t) =
-
\left[e^{-2\tau}\right]_{t - 1}^{1}
+
\frac{2}{-3}
\left[e^{-3\tau}\right]_{1}^{t}
\]
\[
y(t) =
-
\left[
e^{-2(1)} - e^{-2(t - 1)}
\right]
+
\frac{2}{-3}
\left[
e^{-3t} - e^{-3(1)}
\right]
\]
\[
y(t) =
-
\left[
e^{-2} - e^{-2(t - 1)}
\right]
+
\frac{2}{-3}
\left[
e^{-3t} - e^{-3}
\right]
\]
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
y(t) =
-e^{-2}
+
e^{-2(t - 1)}
+
\frac{2}{-3}e^{-3t}
-
\frac{2}{-3}e^{-3}
}
\]
Intervalo 5
Cuando \(t - 1 > 1\)
\(t > 2\)
\[
y(t) =
\int_{t - 1}^{t}
\color{purple} x(\tau) \color{black}
\color{orange} h(t - \tau) \color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
\int_{t - 1}^{t}
\color{purple}
\left(
e^{-3\tau}1 + e^{-2\tau}1
\right)
\color{black}
\color{orange}
2
\color{black}
d\tau
\]
\[
y(t) =
2
\int_{t - 1}^{t}
\left(
e^{-3\tau} + e^{-2\tau}
\right)
d\tau
\]
\[
y(t) =
2
\left(
\int_{t - 1}^{t}
\left(
e^{-3\tau}
\right)
d\tau
+
\int_{t - 1}^{t}
\left(
e^{-2\tau}
\right)
d\tau
\right)
\]
\[
y(t) =
2
\left(
\frac{1}{-3}
\int_{t - 1}^{t}
\left(
e^{-3\tau}
(-3)
\right)
d\tau
+
\frac{1}{-2}
\int_{t - 1}^{t}
\left(
e^{-2\tau}
(-2)
\right)
d\tau
\right)
\]
\[
y(t) =
2
\left(
\frac{1}{-3}
\left[e^{-3\tau}\right]_{t - 1}^{t}
+
\frac{1}{-2}
\left[e^{-2\tau}\right]_{t - 1}^{t}
\right)
\]
\[
y(t) =
2
\left(
\frac{1}{-3}
\left[e^{-3t} - e^{-3(t - 1)}\right]
+
\frac{1}{-2}
\left[e^{-2t} - e^{-2(t - 1)}\right]
\right)
\]
\[
y(t) =
\left[\frac{2}{-3}e^{-3t} - \frac{2}{-3}e^{-3(t - 1)}\right]
+
\left[\frac{2}{-2}e^{-2t} - \frac{2}{-2}e^{-2(t - 1)}\right]
\]
\[
y(t) =
\left[\frac{2}{-3}e^{-3t} + \frac{2}{3}e^{-3(t - 1)}\right]
+
\left[-e^{-2t} + e^{-2(t - 1)}\right]
\]
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
y(t) =
\frac{2}{-3}e^{-3t}
+
\frac{2}{3}e^{-3(t - 1)}
-
e^{-2t}
+
e^{-2(t - 1)}
}
\]
