Hacer la convolución de las siguientes señales utilizando series de Fourier. \[ x(t) = 2 sin(4\pi t) + 8 \] Periódica con \(\omega_0 = 4\pi\) \[ h(t) = e^{2t}u(-t) \] \[ y(t) = x(t) * h(t) \]

Desarrollo

1) Convertir a forma de Euler

Es caso 2. Por lo tanto, convertimos la forma de Euler. Utilizamos la siguiente equivalencia: \[ sin(\theta) = \frac{1}{2i} (e^{i\theta} - e^{-i\theta}) \] Nos queda: \[ x(t) = 2 \frac{1}{2i} (e^{i(4\pi t)} - e^{-i(4\pi t)}) + 8 e^{i 4\pi 0 t} \] \[ x(t) = \frac{1}{i} (e^{i(4\pi t)} - e^{-i(4\pi t)}) + 8 e^{i 4\pi 0 t} \] \[ x(t) = \frac{1}{i}e^{i4\pi t} - \frac{1}{i}e^{-i4\pi t} + 8 e^{i 4\pi 0 t} \]

2) Encontrar la frecuencia fundamental


La frecuencia fundamental ya nos la da el ejercicio que es \(\omega_0 = 4\pi\)

3) Identificar los coeficientes \( \color{orange} a_{ \color{purple} k}\)


\[ x(t) = \frac{1}{i}e^{i4\pi t} - \frac{1}{i}e^{-i4\pi t} + 8 e^{i 4\pi 0 t} \] \[ x(t) = \color{orange} \frac{1}{i} \color{black} e^{i 4 \pi t} \color{orange} - \frac{1}{i} \color{black} e^{-i 4 \pi t} + \color{orange} 8 \color{black} e^{i 4\pi \color{purple} 0 \color{black} t} \]
Exponente en \(x(t)\) Relación Valor de \(k\) Coeficiente \(a_k\)
\[ e^{i4\pi t} \] \[ \color{purple} k \color{black} \omega_0 = 4\pi \] \[ \color{purple} 1 \color{black} \cdot 4\pi = 4\pi \] \(1\) \[ a_{\color{purple} 1 \color{black}} = \color{orange} \frac{1}{i} \color{black} \]
\[ e^{-i4\pi t} \] \[ \color{purple} k \color{black} \omega_0 = -4\pi \] \[ \color{purple} -1 \color{black} \cdot 4\pi = -4\pi \] \(-1\) \[ a_{\color{purple} -1 \color{black}} = \color{orange} -\frac{1}{i} \color{black} \]
\[ 8 e^{i 4\pi 0 t} \] \[ \color{purple} k \color{black} \omega_0 = 0 \] \[ \color{purple} 0 \color{black} \cdot 4\pi = 0 \] \(0\) \[ a_{\color{purple} 0 \color{black}} = \color{orange} 8 \color{black} \]

Resources

Fourier Analysis

4) Resolver Integral

\[ H(k\omega_0) = \int_{-\infty}^{0} \color{purple} h(t) \color{black} \color{orange} e^{-i k \omega_0 t} \color{black} dt \] Los límites van de \(-\infty\) hasta \(0\) porque \(h(t)\) tiene \(u(-t)\) que es un escalón reflejado.

\[ H(k\omega_0) = \int_{-\infty}^{0} \color{purple} h(t) \color{black} \color{orange} e^{-i k \omega_0 t} \color{black} dt \] \[ H(k\omega_0) = \int_{-\infty}^{0} \color{purple} e^{2t}u(-t) \color{black} \color{orange} e^{-i k \omega_0 t} \color{black} dt \] \[ H(k\omega_0) = \int_{-\infty}^{0} \color{purple} e^{2t}1 \color{black} \color{orange} e^{-i k \omega_0 t} \color{black} dt \] \[ H(k\omega_0) = \int_{-\infty}^{0} \color{purple} e^{2t} \color{black} \color{orange} e^{-i k \omega_0 t} \color{black} dt \] Acomodamos la integral para que sea más fácil de resolver. \[ H(k\omega_0) = \int_{-\infty}^{0} e^{-i k \omega_0 t + 2t} dt \] Utilizamos la siguiente forma de la integral. \[ \int e^u\,u'\,dx = e^u + C \] Donde \[ u = -i k \omega_0 t + 2t \] \[ u' = -i k \omega_0 + 2 \] Entonces, realizamos un artificio matemático. \[ H(k\omega_0) = \color{blue} \frac {1} {(-i k \omega_0 + 2)} \color{black} \int_{-\infty}^{0} e^{-i k \omega_0 t + 2t} \color{blue} (-i k \omega_0 + 2) \color{black} dt \] \[ H(k\omega_0) = \frac {1} {(-i k \omega_0 + 2)} \left[ e^{-i k \omega_0 t + 2t} \right]_{-\infty}^{0} \] \[ H(k\omega_0) = \frac {1} {(-j k \omega_0 + 2)} \left[ e^{-i k \omega_0 (0) + 2(0)} - e^{-i k \omega_0 (-\infty) + 2(-\infty)} \right] \] \[ H(k\omega_0) = \frac {1} {(-i k \omega_0 + 2)} \left[ e^{0} - e^{-\infty} \right] \] \[ H(k\omega_0) = \frac {1} {(-i k \omega_0 + 2)} \left[ 1 - 0 \right] \] \[ H(k\omega_0) = \frac {1} {(-i k \omega_0 + 2)} \]

5) Reemplazamos en la serie de Fourier.

\[ y(t) = \sum_{k=-\infty}^{k=\infty} a_k H(k\omega_0) e^{ik\omega_0 t} \] \[ y(t) = \sum_{k=-1}^{k=1} a_k \frac {1} {(-i k 4 \pi + 2)} e^{ik4\pi t} \] \[ y(t) = \frac{1}{i} \frac {1} {(-i 1 \cdot 4\pi + 2)} e^{i(1) \cdot 4\pi t} - \frac{1}{i} \frac {1} {(-i (-1) \cdot 4\pi + 2)} e^{i(-1) \cdot 4\pi t} + 8 \frac {1} {(-i (0) \cdot 4\pi + 2)} e^{i(0) \cdot 4\pi t} \] \[ y(t) = \frac{1}{i} \frac {1} {(-i 1 \cdot 4\pi + 2)} e^{i\cdot 4\pi t} - \frac{1}{i} \frac {1} {(i \cdot 4\pi + 2)} e^{-i\cdot 4\pi t} + 8 \frac {1} {(0 + 2)} e^{0} \] \[ y(t) = \frac{1}{i} \frac {1} {(-i 1 \cdot 4\pi + 2)} e^{i\cdot 4\pi t} - \frac{1}{i} \frac {1} {(i 4\pi + 2)} e^{-i4\pi t} + 8 \frac {1} {2} 1 \] \[ \color{limegreen} \boxed{ \color{black} y(t) = \frac{1}{i} \frac {1} {(-i 4\pi + 2)} e^{i 4\pi t} - \frac{1}{i} \frac {1} {(i 4\pi + 2)} e^{-i 4\pi t} + 8 \frac {1} {2} } \]