Resolver \(y(t)\)
\[
y(t) =
\sum_{k=-\infty}^{k = +\infty}
a_k
H(k \omega_0)
e^{i k \omega_0 t}
\]
\[
x(t) =
\sum_{k=-\infty}^{k = +\infty}
a_k
e^{i k \omega_0 t}
\]
\(x(t)\) es periódica con periodo 3.
\(x(t) = e^{-3t}\) para \(1 < t < 4\)
\(h(t) = \delta(t + 2)\)
1) Dibujamos las señales
Que \(x(t)\) sea periódica, quiere decir que se repite.
2) Resolver la integral de \(a_k\)
El sistema dice que el periodo es \(T_0 = 3\). Por lo tanto, la frecuencia fundamental nos queda:
\[
\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0} = \frac{2\pi}{3}
\]
\[
a_k =
\frac{1}{T_0}
\int_{T_0}^{}
x(t)
e^{-i k \omega_0 t}
dt
\]
\[
a_k =
\frac{1}{3}
\int_{1}^{4}
e^{-3t}
e^{-i k \frac{2\pi}{3} t}
dt
\]
\[
a_k =
\frac{1}{3}
\int_{1}^{3}
e^{-i k \frac{2\pi}{3} t - 3t}
dt
\]
\[
a_k =
\frac{1}{3}
\int_{1}^{3}
e^{-t(i k \frac{2\pi}{3} + 3)}
dt
\]
Utilizamos la forma de la integral:
\[
\int e^u\,u'\,dx = e^u + C
\]
Donde
\[
u = -t(i k \frac{2\pi}{3} + 3)
\]
Y la variable es \(t \rightarrow u(t)\).
Por lo tanto, podemos utilizar la forma de la derivada:
\[
y = cx
\]
\[
y' = c
\]
Si tomamos a \(t\) como \(x\) y \(-(i k \frac{2\pi}{3} + 3)\) como \(c\), entonces:
\[
u' = -i k \frac{2\pi}{3} + 3
\]
Por lo tanto, tendríamos que aplicar el siguiente artificio matemático.
\[
a_k =
\frac{1}{3}
\color{blue}
\left(
-\frac
{1}
{(i k \frac{2\pi}{3} + 3)}
\right)
\color{black}
\int_{1}^{4}
e^{-t(i k \frac{2\pi}{3} + 3)}
\color{blue}
\left(
-(i k \frac{2\pi}{3} + 3)
\right)
\color{black}
dt
\]
\[
a_k =
\frac{1}{3}
\color{blue}
\left(
-\frac
{1}
{(i k \frac{2\pi}{3} + 3)}
\right)
\color{black}
\left[
e^{-t(i k \frac{2\pi}{3} + 3)}
\right]_{1}^{4}
\]
\[
a_k =
\frac{1}{3}
\left(
-\frac
{1}
{(i k \frac{2\pi}{3} + 3)}
\right)
\left[
e^{-4(i k \frac{2\pi}{3} + 3)}
-
e^{-1(i k \frac{2\pi}{3} + 3)}
\right]
\]
\[
a_k =
-\frac
{1}
{
3
\left(
i k \frac{2\pi}{3} + 3
\right)
}
\left[
e^{-4(i k \frac{2\pi}{3} + 3)}
-
e^{-(i k \frac{2\pi}{3} + 3)}
\right]
\]
3) Resolver la integral de \(H(k \omega_0)\)
\[
H(k \omega_0) =
\int_{-\infty}^{+\infty}
h(t)
e^{-i k \omega_0 t}
dt
\]
\[
H(k \omega_0) =
\int_{-\infty}^{+\infty}
\delta(t + 2)
e^{-i k \frac{2\pi}{3} (-2)}
dt
\]
\[
H(k \omega_0) = e^{-i k \frac{2\pi}{3} (-2)}
\]
4) Reemplazamos en la fórmula general de la salida.
\[
y(t) =
\sum_{k=-\infty}^{k = +\infty}
a_k
H(k \omega_0)
e^{i k \omega_0 t}
\]
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
y(t) =
\sum_{k=-\infty}^{k = +\infty}
\left[
-\frac
{1}
{
3
\left(
i k \frac{2\pi}{3} + 3
\right)
}
\left[
e^{-4(i k \frac{2\pi}{3} + 3)}
-
e^{-(i k \frac{2\pi}{3} + 3)}
\right]
\right]
e^{-i k \frac{2\pi}{3} (-2)}
e^{i k \omega_0 t}
}
\]
