\[ x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(\omega) e^{j \omega t} d\omega \]
\[ X(\omega) = [ \delta(\omega + 5) + \delta(\omega - 5) ] \]
Desarrollo
\[ x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} [ \delta(\omega + 5) + \delta(\omega - 5) ] e^{j \omega t} d\omega \] \[ x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(\omega + 5) e^{j \omega t} + \delta(\omega - 5) e^{j \omega t} d\omega \] Hacemos distributiva: \[ x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(\omega + 5) e^{j \omega t} + \delta(\omega - 5) e^{j \omega t} d\omega \] \[ x(t) = \frac{1}{2\pi} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(\omega + 5) e^{j \omega t} d\omega + \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(\omega - 5) e^{j \omega t} d\omega \right] \] Ahora, las integrales deben resolverse utilizando la propiedad de muestreo de los impulsos.
Resources
Ver propiedad de mostreo o de selectividad del impulso
\[ x(t) = \frac{1}{2\pi} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(\omega + 5) e^{j \omega (-5)} d\omega + \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(\omega - 5) e^{j \omega 5} d\omega \right] \] \[ x(t) = \frac{1}{2\pi} \left[ e^{j \omega (-5)} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(\omega + 5) d\omega + e^{j \omega 5} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(\omega - 5) d\omega \right] \] \[ x(t) = \frac{1}{2\pi} \left[ e^{-j \omega 5} 1 + e^{j \omega 5} 1 \right] \] \[ \color{limegreen} \boxed{ \color{black} x(t) = \frac{1}{2\pi} \left( e^{-j \omega 5} + e^{j \omega 5} \right) } \]