Realizar la transformada de Fourier de la siguiente función.
\[
x(t) = e^{-2t} [u(t + 2) - u(t - 2)]
\]
Desarrollo
\[
x(t) = e^{-2t}u(t + 2) - e^{-2t}u(t - 2)
\]
En este caso, se puede usar la función de linealidad, siendo \(a\) y \(b\) iguales a 1.
En principio, podría parecer que:
-
\(a = e^{-2t}\)
-
\(b = e^{-2t}\)
Pero eso está mal porque \(a\) y \(b\) tienen que ser constantes y no deben depender del tiempo \(t\).
Por lo tanto, nos quedaría de la siguiente manera:
\[
ax(t) + bx(t)
\rightarrow F \rightarrow
aX(\omega) + bX(\omega)
\]
\[
X(\omega) = 1F(e^{-2t}u(t + 2)) - 1F(e^{-2t}u(t - 2))
\]
Tenemos que la forma de la transformada de Fourier es la siguiente:
\[
X(\omega) =
\int_{-\infty}^{\infty}
x(t)
e^{-i \omega t}
dt
\]
Entonces, reemplazamos en nuestra función
teniendo en cuenta los escalones para definir los límites de integración
\[
X(\omega) =
\int_{-2}^{\infty}
e^{-2t}u(t + 2)
e^{-i \omega t}
dt
-
\int_{2}^{\infty}
e^{-2t}u(t - 2)
e^{-i \omega t}
dt
\]
Reordenamos utilizando propiedades de exponenciales.
\[
X(\omega) =
\int_{-2}^{\infty}
e^{-2t -i \omega t}
u(t + 2)
dt
-
\int_{2}^{\infty}
e^{-2t -i \omega t}
u(t - 2)
dt
\]
\[
X(\omega) =
\int_{-2}^{\infty}
e^{-t(2 + i \omega)}
u(t + 2)
dt
-
\int_{2}^{\infty}
e^{-t(2 + i \omega)}
u(t - 2)
dt
\]
\[
X(\omega) =
\int_{-2}^{\infty}
e^{-t(2 + i \omega)}
u(t + 2)
dt
-
\int_{2}^{\infty}
e^{-t(2 + i \omega)}
u(t - 2)
dt
\]
Aplicamos ahora un artificio matemático para poder utilizar la forma de la integral:
\[
\int e^{u}u' dx = e^{u} + C
\]
\[
X(\omega) =
\color{blue}
-\frac
{1}
{(2 + i \omega)}
\color{black}
\int_{-2}^{\infty}
e^{-t(2 + i \omega)}
u(t + 2)
\color{blue}
(-(2 + i \omega))
\color{black}
dt
-
\color{blue}
\left(
-\frac
{1}
{(2 + i \omega)}
\right)
\color{black}
\int_{2}^{\infty}
e^{-t(2 + i \omega)}
u(t - 2)
\color{blue}
(-(2 + i \omega))
\color{black}
dt
\]
Y dado que los escalones nos aportan el valor de uno, nos queda de la siguiente manera:
\[
X(\omega) =
\color{blue}
-\frac
{1}
{(2 + i \omega)}
\color{black}
\int_{-2}^{\infty}
e^{-t(2 + i \omega)}
1
\color{blue}
(-(2 + i \omega))
\color{black}
dt
+
\color{blue}
\frac
{1}
{(2 + i \omega)}
\color{black}
\int_{2}^{\infty}
e^{-t(2 + i \omega)}
1
\color{blue}
(-(2 + i \omega))
\color{black}
dt
\]
\[
X(\omega) =
-\frac
{1}
{(2 + i \omega)}
\left[
e^{-t(2 + i \omega)}
\right]_{-2}^{\infty}
+
\frac
{1}
{(2 + i \omega)}
\left[
e^{-t(2 + i \omega)}
\right]_{2}^{\infty}
\]
\[
X(\omega) =
-\frac
{1}
{(2 + i \omega)}
\left[
e^{-(\infty)(2 + i \omega)}
-
e^{-(-2)(2 + i \omega)}
\right]
+
\frac
{1}
{(2 + i \omega)}
\left[
e^{-\infty(2 + i \omega)}
-
e^{-(2)(2 + i \omega)}
\right]
\]
\[
X(\omega) =
-\frac
{1}
{(2 + i \omega)}
\left[
0
-
e^{2(2 + i \omega)}
\right]
+
\frac
{1}
{(2 + i \omega)}
\left[
0
-
e^{(-4 - 2i \omega)}
\right]
\]
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
X(\omega) =
\frac
{e^{(4 + 2i \omega)}}
{(2 + i \omega)}
-
\frac
{e^{(-4 - 2i \omega)}}
{(2 + i \omega)}
}
\]