Realizar la anti-transformada.
\[
X(\omega) =
\frac
{e^{-2i \omega}}
{i \omega + 1}
-9
+
\delta(\omega + 2)
\]
Desarrollo
Dado que la función está compuesta por la sumatoria de tres términos, podemos aplicar la propiedad de linealidad.
\[
X(\omega) =
\alpha A(\omega)
+
\beta B(\omega)
+
\gamma C(\omega)
\]
\[
\alpha A(\omega) =
\frac
{e^{-2i \omega}}
{i \omega + 1}
\]
\[
\beta B(\omega) =
-9
\]
\[
\gamma C(\omega) =
\delta(\omega + 2)
\]
1) Resolvemos el impulso.
El impulso se puede resolver utilizando la tabla de las transformadas de Fourier
En la tabla tenemos esta forma del impulso.
\[
2\pi\delta(\omega - \omega_0)
\rightarrow F^{-1} \rightarrow
e^{i \omega_0 t}
\]
Debido a que en nuestro caso nos falta \(2\pi\), podemos utilizar el siguiente artificio matemático.
\[
\gamma C(\omega) =
\color{blue}
\frac{2\pi}{2\pi}
\color{black}
\delta(\omega + 2)
\]
Ahora sí tenemos la expresión que está en la tabla.
\[
\gamma C(\omega) =
\frac
{ \color{orange} 2\pi \color{black}}
{2\pi}
\color{orange}
\delta(\omega + 2)
\]
El resultado nos queda:
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
\gamma c(t) =
\frac
{ 1}
{2\pi}
e^{i (-2) t}
}
\]
2) Resolvemos la transformada de \(-9\)
Si buscamos en la tabla, tenemos la siguiente forma.
\[
\delta(t)
\rightarrow F \rightarrow
1
\]
o
\[
1
\rightarrow F^{-1} \rightarrow
\delta(t)
\]
Podemos decir que el \(-9\) está siendo multiplicado por \(1\)
\[
\beta B(\omega) =
-9 \cdot 1
\]
Por tanto, el resultado nos queda:
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
\beta b(t) = -9 \delta(t)
}
\]
3) Resolvemos la transformada de \(\frac{e^{-2i \omega}}{i \omega + 1}\)
\[
A(\omega) =
\frac
{e^{-2i \omega}}
{i \omega + 1}
\]
Esta función no se puede resolver reemplazando simplemente en la integral.
Podemos utilizar la propiedad de desplazamiento que tiene la forma:
\[
\color{purple}
e^{-i \omega t_0}
\color{orange}
Y(\omega)
\color{black}
\rightarrow F^{-1} \rightarrow
\color{orange}
x(t - t_0)
\color{black}
\]
Si reordenamos la función de la siguiente manera:
\[
A(\omega) =
\color{purple}
e^{-i \omega 2}
\color{orange}
\frac
{1}
{i \omega + 1}
\color{black}
\]
Buscamos cuál sería la anti-transformada de \( \color{orange} \frac{1}{i \omega + 1} \) en la tabla.
\[
\color{orange}
\frac{1}{a + i \omega}
\color{black}
\rightarrow F^{-1} \rightarrow
\color{black}
\color{orange}
e^{-a(t)}u(t)
\color{black}
\]
Pero tenemos que tener en cuenta, que como el desplazamiento es \(t_0 = 2\)
\[
A(\omega) =
e^{-i \omega \color{blue} 2 \color{black}}
\frac
{1}
{i \omega + 1}
\]
La anti-transformada de \(\color{orange} Y(\omega)\) nos queda:
\[
\color{orange}
\frac{1}{a + i \omega}
\color{black}
\rightarrow F^{-1} \rightarrow
\color{orange}
e^{-a(t - 2)}u(t - 2)
\color{black}
\]
Entonces, ahora si ya estamos en condiciones de aplicar la anti-transformada a la función completa:
\[
A(\omega)
\rightarrow F^{-1} \rightarrow
a(t - t_0)
\]
\[
\color{purple}
e^{-i \omega 2}
\color{orange}
\frac
{1}
{i \omega + 1}
\color{black}
\rightarrow F^{-1} \rightarrow
e^{-a(t - 2)}u(t - 2)
\]
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
a(t - t_0) = e^{-a(t - 2)}u(t - 2)
}
\]
4) Finalmente, así es como nos quedaría la función completa.
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
X(\omega) =
e^{-a(t - 2)}u(t - 2)
-
9 \delta(t)
+
\frac
{ 1}
{2\pi}
e^{i (-2) t}
}
\]