\[
x(t) =
e^{-2t}u(t - 1)
+
t e^{-5t} u(t)
+
\delta(t - 4)
+
8
\]
Desarrollo
Dado que la función está compuesta por la sumatoria de cuatro términos,
podemos aplicar la propiedad de linealidad.
\[
x(t) = a(t) + b(t) + c(t) + d(t)
\]
Donde la transformada sería:
\[
X(\omega) = A(\omega) + B(\omega) + C(\omega) + D(\omega)
\]
Resolvemos \(a(t)\)
\[
a(t) = e^{-2t}u(t - 1)
\]
En este caso, podemos aplicar la propiedad de desplazamiento.
Para eso tenemos que reacomodar el exponencial.
\[
t = (t - t_0) + t_0
\]
\[
t = (t - 1) + 1
\]
Entonces, esto lo sustituimos en el exponente.
\[
a(t) = e^{
-2
\color{blue}
[(t - 1) + 1]
\color{black}
}u(t - 1)
\]
\[
a(t) = e^{-2(t - 1) - 2}u(t - 1)
\]
\[
a(t) = e^{-2(t - 1)}e^{-2}u(t - 1)
\]
Si decimos que:
\[
f(t) = e^{-2(t)}e^{-2}u(t)
\]
Podemos decir que:
\[
a(t) = f(t - 1)
\]
Si buscamos en la tabla de las transformadas, podemos utilizar la siguiente fórmula:
\[
\color{orange}
e^{-at}u(t)
\color{black}
\xrightarrow{\mathcal{F}}
\frac{1}{a + i \omega}
\]
Lo cual coincide con la forma de nuestra función:
\[
f(t) =
\color{orange}
e^{-2(t)}
\color{black}
e^{-2}
\color{orange}
u(t)
\color{black}
\]
Entonces, la transformada de \(f(t)\) nos queda:
\[
F(\omega) = e^{-2}\frac{1}{2 + i \omega}
\]
\[
F(\omega) = \frac{e^{-2}}{2 + i \omega}
\]
Ahora aplicamos la propiedad de desplazamiento a \(a(t)\).
\[
A(\omega) = F(\omega) e^{-i \omega t_0}
\]
\[
A(\omega) = \frac{e^{-2}}{2 + i \omega} e^{-i \omega 1}
\]
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
A(\omega) = \frac{e^{-2}e^{-i \omega 1}}{2 + i \omega}
}
\]
Resolvemos \(b(t)\)
\[
b(t) = t e^{-5t} u(t)
\]
Si buscamos en la tabla, podemos utilizar la siguiente fórmula:
\[
t e^{-at}u(t)
\xrightarrow{\mathcal{F}}
\frac{1}{(a + i \omega)^2}
\]
Entonces, la función nos quedaría:
\[
B(\omega) = \frac{1}{(5 + i \omega)^2}
\]
Resolvemos \(c(t)\)
\[
c(t) = \delta(t - 4)
\]
Resolvemos por tabla:
\[
C(\omega) = e^{-i \omega 4}
\]
Resolvemos \(d(t)\)
\[
d(t) = 8
\]
Resolvemos por tabla:
\[
D(\omega) = 8 \cdot 2\pi \delta(\omega)
\]
\[
D(\omega) = 16\pi \delta(\omega)
\]
Finalmente, la función completa nos queda de la siguiente manera:
\[
X(\omega) = A(\omega) + B(\omega) + C(\omega) + D(\omega)
\]
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
X(\omega) =
\frac{e^{-2}e^{-i \omega 1}}{2 + i \omega}
+
\frac{1}{(5 + i \omega)^2}
+
e^{-i \omega 4}
+
16\pi \delta(\omega)
}
\]