Utilizar la propiedad de desplazamiento en el tiempo y la tabla de transformadas para encontrar
\(X(\omega)\) dada la siguiente \(x(t)\)
\[
x(t) =
(t + 1)
e^{-t-1}
u(t + 1)
\]
Desarrollo
Dado que para poder aplicar la propiedad de desplazamiento,
debemos tener el mismo tipo de desplazamiento en todas las \(t\)
hacemos el siguiente reordenamiento:
\[
x(t) =
(t + 1)
e^{
\color{blue}
-(t + 1)
\color{black}
}
u(t + 1)
\]
Sabiendo que vamos a aplicar desplazamiento, para buscar en la tabla de transformadas,
hago cuenta que el desplazamiento no está, como si tuviéramos la siguiente función
\[
y(t) =
(t)
e^{-(t)}
u(t)
\]
Entonces, la forma de la tabla que vamos a utilizar es la siguiente:
\[
t e^{-at}u(t)
\rightarrow F \rightarrow
\frac{1}{(a + i \omega)^2}
\]
Y podemos decir que:
\[
x(t) = y(t + 1)
\]
Entonces, la transformada de \(x(t)\) aplicando desplazamiento es
\[
X(\omega) = Y(\omega) e^{- i \omega t_0}
\]
Si aplicamos la fórmula de la tabla de transformadas para \(y(t)\), nos quedaría:
\[
Y(\omega) =
\frac{1}{(1 + i \omega)^2}
\]
Ahora averiguamos cuanto vale \(t_0\).
Para esto, lo que hacemos es comparar la forma desplazada con la forma de nuestra función.
\[
t - t_0 = t + 1
\]
\[
-t_0 = 1
\]
\[
t_0 = -1
\]
Ahora, aplicamos la propiedad de desplazamiento.
\[
X(\omega) =
\frac{1}{(1 + i \omega)^2}
e^{- i \omega (-1)}
\]
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
X(\omega) =
\frac{1}{(1 + i \omega)^2}
e^{i \omega}
}
\]