Utilizar la propiedad de desplazamiento en el tiempo y la tabla de transformadas para encontrar
\(X(\omega)\) dada la siguiente \(x(t)\)
\[
x(t) =
(t + 1)
e^{-t + 4}
u(t + 1)
\]
Desarrollo
Trabajamos el exponencial para poder tener el mismo desplazamiento en todos los términos.
\[
e^{-t + 4}
\]
Armamos una igualdad que tiene el desplazamiento que necesitamos,
Y como la \(t\) tiene un signo negativo delante, lo debemos colocar también al otro lado de la igualdad.
\[
- t + 4 = - (t + 1) + C
\]
\[
- t + 4 = - t - 1 + C
\]
\[
4 = - 1 + C
\]
\[
4 = - 1 + 5
\]
\[
4 = 4
\]
Entonces, los términos nos quedan de la siguiente manera:
\[
x(t) =
(t + 1)
e^{-(t + 1) + 5}
u(t + 1)
\]
Si reordenamos la función obtenemos:
\[
x(t) =
(t + 1)
e^{-(t + 1)}e^{5}
u(t + 1)
\]
Si reordenamos la función, sacando la constante, obtenemos:
\[
x(t) =
e^{5} \cdot [ (t + 1) e^{-(t + 1)} u(t + 1) ]
\]
Ahora, definimos una función base sin desplazar \( y(t) \):
\[
y(t) = t e^{-t} u(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} Y(\omega) = \frac{1}{(1 + i \omega)^2}
\]
Podemos observar que nuestra función es la función base desplazada y multiplicada por una constante:
\[
x(t) = e^5 \cdot y(t + 1)
\]
Aplicando la propiedad de desplazamiento en el tiempo (\( t_0 = -1 \)):
\[
X(\omega) = e^5 \cdot Y(\omega) e^{-i \omega t_0}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
X(\omega) = e^5 \cdot \frac{1}{(1 + i \omega)^2} e^{-i \omega (-1)}
\]
Finalmente, el resultado es:
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
X(\omega) = \frac{e^{5 + i \omega}}{(1 + i \omega)^2}
}
\]