Para el muestreo de una señal \(x(t) = 2\cos(2 \pi 500 t) + 3\sin(2 \pi 30 t)\)
con \(0 \leq t < 5\text{s}\) y \(x(t) = 0\) para otros \(t\), y su posterior análisis
en el dominio de la frecuencia, utilizando la FFT, se pide:
-
a) Definir un intervalo de muestreo válido y la correspondiente
cantidad de elementos del vector \(x[n]\), obtenido.
Considerando la aplicación de la FFT con un periodo de \(T_0 = 15\text{s}\).
Justifique su respuesta con los argumentos matemáticos correspondientes.
-
b) Indique las frecuencias digitales involucradas en \(x[n]\),
de acuerdo a su elección en el punto a).
a) Intervalo de muestreo válido y cantidad de muestras \(N\)
Se necesita un intervalo de muestreo \(\Delta t\) válido.
\[
\Delta t = \frac{1}{F_m}
\]
La señal contiene dos componentes de frecuencia:
\[
F_1 = 500 \text{ Hz}, \qquad F_2 = 30 \text{ Hz}
\]
La frecuencia máxima es \(F_{max} = 500\) Hz. Aplicando el criterio de Nyquist:
\[
F_m \geq 2 \cdot F_{max} = 2 \cdot 500 = 1000 \text{ Hz}
\]
Se elige \(F_m = 1000\) Hz, por lo que el intervalo de muestreo es:
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
\Delta t = \frac{1}{F_m} = \frac{1}{1000} = 0{,}001 \text{ s}
}
\]
Ahora averiguamos la correspondiente cantidad de elementos del vector \(N\)
\[
\Delta t = \frac{T}{N}
\]
\[
N = \frac{T}{\Delta t}
\]
Con el período de análisis \(T_0 = 15\) s, la cantidad de muestras es:
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
N = \frac{T_0}{T_s} = \frac{15}{0{,}001} = 15000 \text{ muestras}
}
\]
Dado que la función solo existe entre \(0 \leq t < 5\) s, habrán
\(5000\) muestras reales y \(15000 - 5000 = 10000\) ceros.
b) Frecuencias digitales involucradas en \(x[n]\)
\[
f_0 = \frac{F_0}{F_m}
\]
Con \(F_m = 1000\) Hz, las frecuencias digitales son:
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
f_1 = \frac{F_1}{F_m} = \frac{500}{1000} = 0{,}5
}
\]
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
f_2 = \frac{F_2}{F_m} = \frac{30}{1000} = 0{,}03
}
\]
La señal muestreada queda entonces:
\[
x[n] = 2\cos(2\pi \cdot 0{,}5 \cdot n) + 3\sin(2\pi \cdot 0{,}03 \cdot n)
\]