La función puede escribirse como la suma de una parábola y un término oscilatorio:
\[f(x) = \underbrace{0{,}08x^2 + 4x - 100}_{g(x)} - 13\sin(x)\]El término sinusoidal está acotado: \(|{-}13\sin(x)| \leq 13\). Por lo tanto, si \(g(x) > 13\), entonces:
\[f(x) = g(x) - 13\sin(x) \geq g(x) - 13 > 0\]En esa zona \(f(x) > 0\) siempre, sin importar el valor del seno. No puede haber raíces. Se determina a partir de qué \(x\) se cumple \(g(x) > 13\), resolviendo:
\[0{,}08x^2 + 4x - 100 = 13 \implies 0{,}08x^2 + 4x - 113 = 0\]Aplicando Bhaskara (\(a = 0{,}08,\ b = 4,\ c = -113\)):
\[x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot 0{,}08 \cdot 113}}{0{,}16} = \frac{-4 \pm \sqrt{52{,}16}}{0{,}16} = \frac{-4 \pm 7{,}222}{0{,}16}\]Raíz positiva:
\[x_{max} = \frac{-4 + 7{,}222}{0{,}16} \approx 20{,}14\]Se evalúa \(f\) en puntos enteros desde \(x_{max} \approx 20\) hacia \(x = 0\), buscando el primer cambio de signo. Ese cambio corresponde al intervalo con la mayor raíz positiva.
| \(x\) | \(g(x) = 0{,}08x^2 + 4x - 100\) | \(-13\sin(x)\) | \(f(x)\) | Signo |
|---|---|---|---|---|
| 20 | \(0{,}08(400)+80-100=12{,}00\) | \(-13(0{,}9129)=-11{,}87\) | \(\approx 0{,}13\) | + |
| 19 | \(0{,}08(361)+76-100=4{,}88\) | \(-13(0{,}1499)=-1{,}95\) | \(\approx 2{,}93\) | + |
| 18 | \(0{,}08(324)+72-100=-2{,}08\) | \(-13(-0{,}7504)=+9{,}76\) | \(\approx 7{,}68\) | + |
| 17 | \(0{,}08(289)+68-100=-8{,}88\) | \(-13(-0{,}9613)=+12{,}50\) | \(\approx 3{,}62\) | + |
| 16 | \(0{,}08(256)+64-100=-15{,}52\) | \(-13(-0{,}2879)=+3{,}74\) | \(\approx -11{,}78\) | − |
Se comprueba además que \(f(x) \ll 0\) para valores menores (por ejemplo, \(f(15) \approx -30{,}5\), \(f(10) \approx -44{,}9\), \(f(0) = -100\)), por lo que no hay ningún otro cambio de signo para \(x \in [0, 16)\).
Se analiza la derivada en el intervalo:
\[f'(x) = 0{,}16x + 4 - 13\cos(x)\]El primer término \((0{,}16x + 4)\) es positivo para todo \(x > 0\). Para el segundo término, se verifica el signo de \(\cos(x)\) en \([16,\ 17]\): los ceros del coseno ocurren en \(x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi\). El más cercano al intervalo es \(x = \tfrac{9\pi}{2} \approx 14{,}14\) y \(x = \tfrac{11\pi}{2} \approx 17{,}28\), ambos fuera de \([16,\ 17]\). Por lo tanto \(\cos(x)\) no cambia de signo en el intervalo. Como \(\cos(16) \approx -0{,}958 < 0\), resulta \(\cos(x) < 0\) en todo \([16,\ 17]\), y por ende \(-13\cos(x) > 0\).
Verificando en los extremos:
\[f'(16) = 0{,}16 \cdot 16 + 4 - 13 \cdot (-0{,}958) \approx 6{,}56 + 12{,}45 = 19{,}01 > 0\] \[f'(17) = 0{,}16 \cdot 17 + 4 - 13 \cdot (-0{,}275) \approx 6{,}72 + 3{,}58 = 10{,}30 > 0\]Del Paso 2, \(f(x) > 0\) para todo \(x \in \{17, 18, 19, 20\}\) y no hay cambios de signo en \([17,\ 20{,}14]\). Del Paso 1, \(f(x) > 0\) para \(x > 20{,}14\). Por lo tanto, no existe ninguna raíz positiva mayor que 17, y la raíz en \([16,\ 17]\) es la mayor raíz positiva.
Se toma como punto inicial \(x_0 = 16\) (extremo izquierdo del intervalo, donde \(f < 0\)). La fórmula iterativa es:
\[x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}, \qquad f'(x) = 0{,}16x + 4 - 13\cos(x)\]Criterios de parada: \(\Delta x = |x_{n+1} - x_n| \leq 10^{-3}\) y \(\Delta y = |f(x_{n+1})| \leq 10^{-3}\).
| \(n\) | \(x_n\) | \(f(x_n)\) | \(f'(x_n)\) | \(x_{n+1}\) | \(|\Delta x|\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 16,0000 | −11,7773 | 19,0101 | 16,6195 | 0,6195 |
| 1 | 16,6195 | −1,1501 | 14,6406 | 16,6981 | 0,0786 |
| 2 | 16,6981 | −0,0321 | 13,8031 | 16,7004 | 0,0023 |
| 3 | 16,7004 | +0,0006 | 13,7784 | 16,7004 | 0,0000 ✓ |
En la iteración 3: \(|\Delta x| \approx 4{,}4 \times 10^{-5} \leq 10^{-3}\) ✓ y \(|f(x_4)| \approx 0 \leq 10^{-3}\) ✓. Ambos criterios satisfechos.