Para el muestreo de una señal \(x(t) = 10 \cos(2 \pi 4000 t) + 5 \sin(2 \pi 500 t)\)
con \(0 \leq t \leq 20 s\)
Indique las opciones correctas:
-
a) El vector \(x[n]\) obtenido por un \(\Delta t = 0,0005 s\)
es una muestra representativa de \(x(t)\).
Su transformada rápida de Fourier (FFT) puede obtenerse
con una cantidad de \(40.000\) muestras
-
b) El vector \(x[n]\) obtenido por un \(\Delta t = 5 \times 10^{-5} = 0,00005 s\)
es una muestra representativa de \(x(t)\) y las frecuencias digitales son
\(f_1 = 0,2\) y \(f_2 = 0,025\)
-
c) El vector \(x[n]\) obtenido por un \(\Delta t = 5 \times 10^{-5} = 0,00005 s\)
es una muestra representativa de \(x(t)\). Su FFT puede obtenerse con una cantidad
de \(600.000\) muestras.
-
d) Con \(\Delta t = 0,0005 s\) se obtiene una muestra representativa de \(x[n]\).
y las frecuencias digitales son \(f_1 = 2\) y \(f_2 = 0,025\)
Desarrollo
a) El vector \(x[n]\) obtenido por un \(\Delta t = 0,0005 s\)
es una muestra representativa de \(x(t)\).
Su transformada rápida de Fourier (FFT) puede obtenerse
con una cantidad de \(40.000\) muestras
\[
N = \frac{T}{\Delta t}
\]
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
N = \frac{20 s}{ 0,0005 s} = 40.000
}
\]
\[
F_m = \frac{1}{\Delta t}
\]
\[
F_m = \frac{1}{0,0005 s} = 2000 Hz
\]
\[
F_m \geq 2 \cdot F_{max}
\]
\[
2000 Hz \geq 2 \cdot 4000 Hz
\]
\[
\color{red} \boxed{ \color{black}
2000 Hz \geq 8000 Hz \rightarrow \text{Falso}
}
\]
Falso
b) El vector \(x[n]\) obtenido por un \(\Delta t = 5 \times 10^{-5} = 0,00005 s\)
es una muestra representativa de \(x(t)\) y las frecuencias digitales son
\(f_1 = 0,2\) y \(f_2 = 0,025\)
\[
F_m = \frac{1}{5 \times 10^{-5} s} = 20.000 Hz
\]
\[
F_m \geq 2 \cdot F_{max}
\]
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
20000 Hz \geq 8000 Hz
}
\]
\[
f_1 = \frac{4000}{20000} = 0,2
\]
\[
f_2 = \frac{500}{20000} = 0,025
\]
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
f_1 = 0,2 \quad f_2 = 0,025
}
\]
Verdadero
c) El vector \(x[n]\) obtenido por un \(\Delta t = 5 \times 10^{-5} = 0,00005 s\)
es una muestra representativa de \(x(t)\). Su FFT puede obtenerse con una cantidad
de \(600.000\) muestras.
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
F_m = \frac{1}{5 \times 10^{-5}} = 20.000 Hz \geq 8000 hz
}
\]
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
N = \frac{20 s}{5 \times 10^{-5}} = 400.000
}
\]
Si se puede obtener la FFT con 600.000, porque la cantidad mínima que necesita es 400.000.
Las muestras que sobran quedan todas en 0.
Verdadero
d) Con \(\Delta t = 0,005 s\) se obtiene una muestra representativa de \(x[n]\).
y las frecuencias digitales son \(f_1 = 2\) y \(f_2 = 0,025\)
\[
F_m = \frac{1}{0,0005 s} = 2000 Hz
\]
\[
F_m \geq 2 \cdot F_{max}
\]
\[
\color{red} \boxed{ \color{black}
2000 Hz \geq 8000 Hz
}
\]
\[
f_1 = \frac{4000}{2000} = 2
\]
\[
f_2 = \frac{500}{2000} = 0,25
\]
\[
\color{limegreen} \boxed{ \color{black}
f_1 = 2 \quad f_2 = 0,25
}
\]
Falso