Resolver la siguiente convolución de señales discretas: \[ y[n] = x[n] * h[n] \] \[ x[n] = [1,4,3] \] \[ h[n] = [-1,1] \] \[ n_x[n] = [0,1,2] \] \[ n_h[n] = [-7,-6] \]
Desarrollo
1) Dibujamos las señales
2) Reflejamos \(h[n]\) y comenzamos a resolver la convolución
La formula de la convolución es: \[ y[n] = \sum_{k=0}^{N - 1} \color{orange} x[n] \cdot \color{purple} h[n-k] \]
Intervalo 1
Cuando \(n + 7 < 0\)
\(n < -7\) \[ y[n] = 0 \]
Intervalo 2
Cuando \(n + 7 = 0\)
\(n = -7\)
\[ y[n] = \color{orange}(-1) \color{purple} 1 = 0 \]
Intervalo 3
Cuando \(n + 7 = 1\)
\(n = -6\)
\[ y[n] = \color{orange}(-1) \color{purple} 4 + \color{orange}(1) \color{purple} 1 = -4 + 1 = -3 \]
Intervalo 4
Cuando \(n + 7 = 2\)
\(n = -5\)
\[ y[n] = \color{orange}(-1) \color{purple} 3 + \color{orange}(1) \color{purple} 4 = -3 + 4 = 1 \]
Intervalo 5
Cuando \(n + 7 = 3\)
\(n = -4\)
\[ y[n] = \color{orange}(1) \color{purple} 3 = 3 \]
Intervalo 5
Cuando \(n + 6 > 2\)
\(n > -4\)
\[ y[n] = 0 \]
3) Finalmente escribimos la salida \(y[n]\)
\[ y[n] = [-1, -3, 1, 3] \] \[ n_y[n] = [-7, -6, -5, -4] \] Longitud \[ L_y = L_x + L_h - 1 \] \[ L_y = 3 + 2 - 1 = 4 \]
