Recordatorio: Sistemas de EDOs
Cuando tenemos un sistema, los métodos numéricos se aplican simultáneamente a todas las variables. En cada paso calculamos las pendientes de todas las funciones con los valores actuales y actualizamos todas las variables a la vez.
Euler para sistemas: \(y_{k+1} = y_k + h \cdot f_k\), \(z_{k+1} = z_k + h \cdot g_k\)
Euler Mejorado para sistemas:
Predictor: \(\tilde{y} = y_k + h \cdot f_0\), \(\tilde{z} = z_k + h \cdot g_0\)
Corrector: \(y_{k+1} = y_k + \frac{h}{2}(f_0 + f_1)\),
\(z_{k+1} = z_k + \frac{h}{2}(g_0 + g_1)\)
donde \(f_1, g_1\) se evalúan en \((x_{k+1}, \tilde{y}, \tilde{z})\).
Paso 1: Reordenar las ecuaciones
Despejamos las derivadas:
\[ \frac{dy}{dx} = 2y - 3xz \quad \Rightarrow \quad f(x,y,z) = 2y - 3xz \] \[ \frac{dz}{dx} = 2z - 0.5xy - 1 \quad \Rightarrow \quad g(x,y,z) = 2z - 0.5xy - 1 \]Paso 2: Datos iniciales y tamaño de paso
- Condición inicial: \(x_0 = 1\), \(y_0 = 2\), \(z_0 = 5\)
- Valor objetivo: \(x_{\text{final}} = 2\), con \(n = 2\) pasos
- Tamaño de paso: \(h = \frac{2 - 1}{2} = 0.5\)
Valores de \(x\): \(x_0 = 1 \to x_1 = 1.5 \to x_2 = 2\).
Paso 3: Método de Euler
Fórmulas: \(y_{k+1} = y_k + h \cdot f\), \(z_{k+1} = z_k + h \cdot g\). En cada fila se evalúan \(f\) y \(g\) con los valores actuales y se actualizan ambas variables.
| \(k\) | \(x_k\) | \(y_k\) | \(z_k\) | \(f = 2y - 3xz\) | \(g = 2z - 0.5xy - 1\) | \(y_{k+1}\) | \(z_{k+1}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 5 | \(4 - 15 = -11\) | \(10 - 1 - 1 = 8\) | \(2 + 0.5(-11) = -3.5\) | \(5 + 0.5(8) = 9\) |
| 1 | 1.5 | \(-3.5\) | 9 | \(-7 - 40.5 = -47.5\) | \(18 + 2.625 - 1 = 19.625\) | \(-27.25\) | 18.8125 |
Cuidado en \(g\) del paso 2: \(0.5 \times 1.5 \times (-3.5) = -2.625\), y al restar un negativo se suma: \(18 - (-2.625) - 1 = 18 + 2.625 - 1 = 19.625\).
\[ \color{limegreen} \boxed{ \color{black} \text{Euler: } z(2) \approx 18.8125 } \]Paso 4: Método de Euler Mejorado (Heun)
Primero se predice con Euler (\(\tilde{y}, \tilde{z}\)), luego se evalúan las pendientes en el punto predicho (\(f_1, g_1\)) y se corrige promediando: \(y_{k+1} = y_k + \frac{h}{2}(f_0 + f_1)\), \(z_{k+1} = z_k + \frac{h}{2}(g_0 + g_1)\).
| \(k\) | \(x_k\) | \(y_k\) | \(z_k\) | \(f_0\) | \(g_0\) | \(\tilde{y}\) | \(\tilde{z}\) | \(f_1\) | \(g_1\) | \(y_{k+1}\) | \(z_{k+1}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 5 | \(-11\) | \(8\) | \(-3.5\) | \(9\) | \(-47.5\) | \(19.625\) | \(-12.625\) | \(11.9063\) |
| 1 | 1.5 | \(-12.625\) | \(11.9063\) | \(-78.828\) | \(32.281\) | \(-52.039\) | \(28.047\) | \(-272.359\) | \(107.133\) | \(-100.422\) | \(46.760\) |
Verificación fila 0: \(y_1 = 2 + 0.25(-11 + (-47.5)) = 2 + 0.25(-58.5) = -12.625\).
\(z_1 = 5 + 0.25(8 + 19.625) = 5 + 6.9063 = 11.9063\).
Verificación fila 1: \(z_2 = 11.9063 + 0.25(32.281 + 107.133) = 11.9063 + 34.854 = 46.760\).
Paso 5: Comparación de resultados
| Método | \(y(2)\) | \(z(2)\) |
|---|---|---|
| Euler | \(-27.25\) | \(18.8125\) |
| Euler Mejorado | \(-100.422\) | \(46.760\) |
La gran diferencia entre métodos se debe a que el sistema tiene términos de crecimiento rápido (\(2y\), \(2z\)) y el paso \(h = 0.5\) es grande. Euler Mejorado, al promediar pendientes, captura mejor esa aceleración. En un examen, si no se especifica el método, se espera Euler como resolución mínima.