Recordatorio: EDOs de orden superior
Los métodos numéricos solo trabajan con ecuaciones de primer orden. Para una EDO de 2° orden, hay que convertirla en un sistema de dos ecuaciones de primer orden introduciendo \(z = y'\). Luego se aplica el método numérico al sistema completo (como en el ejercicio 67).
Paso 1: Convertir a sistema de primer orden
Definimos: \(z = \frac{dy}{dx}\), por lo tanto \(z' = \frac{d^2y}{dx^2}\).
Sustituimos en la ecuación original \(y'' - 0.3xy + 0.2y' = 0\):
\[ z' - 0.3\,x\,y + 0.2\,z = 0 \quad \Rightarrow \quad z' = 0.3\,x\,y - 0.2\,z \]Sistema equivalente:
\[ \begin{cases} y' = f(x, y, z) = z & \text{(definición de la nueva variable)}\\[4pt] z' = g(x, y, z) = 0.3\,x\,y - 0.2\,z & \text{(la ecuación original reescrita)} \end{cases} \]Paso 2: Datos iniciales y tamaño de paso
- Condición inicial: \(x_0 = 1\), \(y_0 = 2\), \(z_0 = y'(1) = 5\)
- Valor objetivo: \(x_{\text{final}} = 2\), con \(n = 2\) pasos
- Tamaño de paso: \(h = \frac{2 - 1}{2} = 0.5\)
Valores de \(x\): \(x_0 = 1 \to x_1 = 1.5 \to x_2 = 2\).
Paso 3: Método de Euler
Fórmulas: \(y_{k+1} = y_k + h \cdot f\), \(z_{k+1} = z_k + h \cdot g\). Notar que \(f = z\) siempre (es la definición), así que \(y\) crece con pendiente \(z\).
| \(k\) | \(x_k\) | \(y_k\) | \(z_k\) | \(f = z_k\) | \(g = 0.3 x_k y_k - 0.2 z_k\) | \(y_{k+1} = y_k + h \cdot f\) | \(z_{k+1} = z_k + h \cdot g\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 5 | 5 | \(0.6 - 1 = -0.4\) | \(2 + 0.5 \times 5 = 4.5\) | \(5 + 0.5(-0.4) = 4.8\) |
| 1 | 1.5 | 4.5 | 4.8 | 4.8 | \(2.025 - 0.96 = 1.065\) | \(4.5 + 0.5 \times 4.8 = 6.9\) | \(4.8 + 0.5(1.065) = 5.3325\) |
Verificación de \(g\) en paso 2: \(0.3 \times 1.5 = 0.45\), luego \(0.45 \times 4.5 = 2.025\), y \(0.2 \times 4.8 = 0.96\). Así: \(g = 2.025 - 0.96 = 1.065\).
\[ \color{limegreen} \boxed{ \color{black} \text{Euler: } y(2) \approx 6.9 } \]Paso 4: Método de Euler Mejorado (Heun)
Predictor: \(\tilde{y} = y_k + h \cdot f_0\), \(\tilde{z} = z_k + h \cdot g_0\). Corrector: \(y_{k+1} = y_k + \frac{h}{2}(f_0 + f_1)\), \(z_{k+1} = z_k + \frac{h}{2}(g_0 + g_1)\).
| \(k\) | \(x_k\) | \(y_k\) | \(z_k\) | \(f_0\!=\!z_k\) | \(g_0\) | \(\tilde{y}\) | \(\tilde{z}\) | \(f_1\!=\!\tilde{z}\) | \(g_1\) | \(y_{k+1}\) | \(z_{k+1}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 5 | 5 | \(-0.4\) | 4.5 | 4.8 | 4.8 | 1.065 | 4.45 | 5.1663 |
| 1 | 1.5 | 4.45 | 5.1663 | 5.1663 | 0.9693 | 7.0331 | 5.6509 | 5.6509 | 3.0897 | 7.1543 | 6.1810 |
Verificación fila 0: \(y_1 = 2 + 0.25(5 + 4.8) = 2 + 2.45 = 4.45\).
\(z_1 = 5 + 0.25(-0.4 + 1.065) = 5 + 0.1663 = 5.1663\).
Verificación fila 1: \(g_0 = 0.3(1.5)(4.45) - 0.2(5.1663) = 2.0025 - 1.0333 = 0.9693\).
\(g_1 = 0.3(2)(7.0331) - 0.2(5.6509) = 4.2199 - 1.1302 = 3.0897\).
Paso 5: Comparación de resultados
| Método | \(y(2)\) | \(y'(2) = z(2)\) |
|---|---|---|
| Euler | 6.9 | 5.3325 |
| Euler Mejorado | 7.1543 | 6.1810 |
La diferencia es moderada. Euler Mejorado es más preciso al promediar pendientes. Si el ejercicio no especifica método, Euler es la resolución mínima esperada.
- Introducir \(z = y'\) para bajar el orden.
- Despejar \(z' = y''\) de la ecuación original.
- Armar el sistema \(\{y' = z,\; z' = g(x,y,z)\}\).
- Aplicar el método numérico al sistema (como en el ejercicio 67).
- No mezclar: \(y\) crece con pendiente \(z\), y \(z\) crece con su propia pendiente \(g\).