Encontrar la representación en serie de fourier de la siguiente señal: \[ x(t) = sin(2 \pi t) + cos(\pi t + 1) \]

Desarrollo

1) Convertir a forma de Euler

Como tiene seno y coseno, esto es caso 2, por lo tanto, tenemos que usar las relaciones de Euler.
En este caso usamos: \[ cos (\theta) = \frac{1}{2} (e^{i\theta} + e^{-i\theta}) \] \[ sin (\theta) = - \frac{1}{2}i (e^{i\theta} - e^{-i\theta}) \] La ecuación nos queda: \[ x(t) = - \frac{1}{2}i (e^{i2\pi t} - e^{-i2\pi t}) + \frac{1}{2} (e^{i(\pi t + 1)} + e^{-i(\pi t + 1)}) \] \[ x(t) = - \frac{1}{2}ie^{i2\pi t} + \frac{1}{2}ie^{-i2\pi t} + \frac{1}{2}e^{i(\pi t + 1)} + \frac{1}{2}e^{-i(\pi t + 1)} \]

2) Encontrar la frecuencia fundamental


Tomamos únicamente los valores que están relacionados con \(t\) \[ x(t) = - \frac{1}{2}ie^{i \color{purple} 2\pi \color{black} t} + \frac{1}{2}ie^{-i \color{purple} 2\pi \color{black} t} + \frac{1}{2}e^{i(\color{purple} \pi \color{black} t + 1)} + \frac{1}{2}e^{-i(\color{purple} \pi \color{black} t + 1)} \] Ahora tenemos que obtener el mínimo común múltiplo.
\(2\pi\) \(\pi\)
\( \color{blue} \pi \color{black} \) \(2\) \(1\)
\( \color{blue} 2 \color{black} \) \(1\) \(1\)
\( \color{blue} 2\pi \color{black} \)
\[ \text{MCM (Mínimo Común Múltiplo)} = \color{blue} 2\pi \color{black} \] Para calcular el máximo común divisor, hacemos lo siguiente: \[ \text{MCD} = \frac{|2\pi \cdot \pi|}{MCM(2\pi, \pi)} \] \[ \text{MCD} = \frac{|2\pi^2|}{2\pi} \] \[ \text{MCD} = \pi \] Reemplazamos el máximo común divisor en \(\omega_0\) de la expresión \(e^{ik\omega_0t}\) \[ \omega_0 = \pi \] Entonces: \[ e^{ik\pi t} \]

3) Encontrar los coeficientes \(a_k\)

Debemos identificar los siguientes componentes: \[ x(t) = - \frac{1}{2}ie^{i 2\pi t} + \frac{1}{2}ie^{-i 2\pi t} + \frac{1}{2}e^{i(\pi t + 1)} + \frac{1}{2}e^{-i( \pi t + 1)} \] Reacomodamos la ecuación utilizando propiedades de exponenciales. \[ x(t) = - \frac{1}{2}ie^{i 2\pi t} + \frac{1}{2}ie^{-i 2\pi t} + \frac{1}{2} e^{i\pi t} e^{i(1)} + \frac{1}{2} e^{-i\pi t} e^{-i(1)} \] \[ x(t) = \color{orange} -\frac{1}{2}i \color{black} e^{i \color{purple} 2\pi \color{black} t} + \color{orange} \frac{1}{2}i \color{black} e^{ \color{purple} - \color{black} i \color{purple} 2\pi \color{black} t} + \color{orange} \frac{1}{2} \color{black} e^{i\color{purple} \pi \color{black} t} \color{orange} e^{i} \color{black} + \color{orange} \frac{1}{2} \color{black} e^{ \color{purple} - \color{black} i \color{purple} \pi \color{black} t} \color{orange} e^{-i} \color{black} \] \[ x(t) = \color{orange} -\frac{1}{2}i \color{black} e^{i \color{purple} 2\pi \color{black} t} + \color{orange} \frac{1}{2}i \color{black} e^{ \color{purple} - \color{black} i \color{purple} 2\pi \color{black} t} + \color{orange} \frac{1}{2} e^{i}\color{black} e^{i\color{purple} \pi \color{black} t} + \color{orange} \frac{1}{2} e^{-i}\color{black} e^{ \color{purple} - \color{black} i \color{purple} \pi \color{black} t} \] Para terminar de identificar \(k\), necesitamos compararlo con el valor conocido de \(\omega_0\)
Exponente en \(x(t)\) Relación Valor de \(k\)
\[ e^{i \color{purple} 2\pi \color{black} t} \] \[ \color{purple} k \color{black} \omega_0 = \color{purple} 2\pi \color{black} \] \[ \color{purple} 2 \color{black} \cdot \pi = \color{purple} 2\pi \color{black} \] \(2\)
\[ e^{\color{purple} - \color{black} i \color{purple} 2\pi \color{black} t} \] \[ \color{purple} k \color{black} \omega_0 = \color{purple} - 2\pi \color{black} \] \[ \color{purple} -2 \color{black} \cdot \pi = \color{purple} - 2\pi \color{black} \] \(-2\)
\[ e^{i\color{purple} \pi \color{black} t} \] \[ \color{purple} k \color{black} \omega_0 = \color{purple} \pi \color{black} \] \[ \color{purple} 1 \color{black} \cdot \pi = \color{purple} \pi \color{black} \] \(1\)
\[ e^{ \color{purple} - \color{black} i\color{purple} \pi \color{black} t} \] \[ \color{purple} k \color{black} \omega_0 = \color{purple} - \pi \color{black} \] \[ \color{purple} -1 \color{black} \cdot \pi = \color{purple} -\pi \color{black} \] \(-1\)
Ahora sí podemos deducir \(a_k\)
\[ a_{\color{purple} 2 \color{black}} = \color{orange}-\frac{1}{2}i \color{black} \] \[ a_{\color{purple} -2 \color{black}} = \color{orange}\frac{1}{2}i \color{black} \]
\[ a_{\color{purple} 1\color{black}} = \color{orange}\frac{1}{2} e^{i}\color{black} \] \[ a_{\color{purple} -1 \color{black}} = \color{orange}\frac{1}{2} e^{-i}\color{black} \]

4) Finalmente, construimos la sumatoria de Fourier.


\[ x(t) = \sum_{k=-\infty}^{k=\infty} a_k e^{ik\omega_0 t} \]
\[ x(t) = \sum_{\color{purple} k=-2\color{black}}^{\color{purple} k=2 \color{black}} \color{orange} a_{\color{purple} k }\color{black} e^{i \color{purple} k \color{black} \pi t} \] Con \(k \neq 0\)