Métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con condiciones iniciales. En lugar de obtener una solución analítica, se obtiene una solución discreta: una tabla de pares \((x_i,\, y_i)\) que aproximan la solución verdadera. Se estudian tres métodos: Euler, Euler Mejorado y Runge-Kutta de 4° orden.
Motivación: reducir el error promediando dos pendientes.
Motivación: obtener alta precisión sin calcular derivadas de orden superior.
¿Para qué sirven estos métodos?
Para resolver numéricamente EDOs con condiciones iniciales cuando no se puede (o no se desea) obtener una expresión analítica cerrada.
¿De qué depende la exactitud?
Del tamaño de paso \(h\): cuanto más pequeño, más exacta la aproximación (pero mayor el número de cálculos). Y del orden del método: a mayor orden, menor error para un mismo \(h\).
¿Por qué estudiar distintos métodos?
Ofrecen diferentes compromisos entre exactitud y esfuerzo computacional: Euler es simple pero poco preciso; Euler mejorado es más exacto con un costo moderado; RK4 logra un error de orden \(\mathcal{O}(h^5)\), ideal cuando se necesita alta exactitud sin reducir excesivamente \(h\). Es el estándar en muchas aplicaciones.
¿Qué diferencia hay entre el orden del método y el orden de la EDO?
El orden de la EDO indica la derivada de mayor orden que aparece (aquí, primer orden). El orden del método indica la potencia de \(h\) en el error por paso — Euler (1°), Euler mejorado (2°) y RK4 (4°) pueden resolver la misma EDO de primer orden con distintos niveles de precisión.
¿Por qué en RK4 aparece \(h/6\) y la ponderación \(1:2:2:1\)?
Porque se calcula un promedio ponderado de cuatro pendientes. La ponderación \(\tfrac{1}{6},\, \tfrac{2}{6},\, \tfrac{2}{6},\, \tfrac{1}{6}\) surge de igualar la expansión de Taylor de la solución exacta con la combinación lineal de las pendientes, de modo que se eliminen los términos de error hasta orden \(h^4\).
| Método | Orden | Fórmula de recurrencia | Error por paso |
|---|---|---|---|
| Euler | 1° | \(y_{m+1} = y_m + h \cdot f(x_m,\, y_m)\) | \(\mathcal{O}(h^2)\) |
| Euler Mejorado | 2° | \(y_{m+1} = y_m + \dfrac{h}{2}\!\left[f(x_m,\,y_m) + f\!\left(x_{m+1},\,y_m+h\,f(x_m,y_m)\right)\right]\) | \(\mathcal{O}(h^3)\) |
| Runge-Kutta 4 | 4° |
\(k_1 = f(x_m,\, y_m)\)
\(k_2 = f\!\left(x_m+\tfrac{h}{2},\, y_m+\tfrac{h}{2}k_1\right)\)
\(k_3 = f\!\left(x_m+\tfrac{h}{2},\, y_m+\tfrac{h}{2}k_2\right)\)
\(k_4 = f\!\left(x_m+h,\, y_m+h\,k_3\right)\)
\(y_{m+1} = y_m + \dfrac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)\)
|
\(\mathcal{O}(h^5)\) |
Los tres métodos son directos (paso a paso, sin iteraciones internas) y producen valores aproximados de la función en puntos discretos. A mayor orden del método, menor error para un mismo \(h\), a costa de mayor número de evaluaciones de \(f\) por paso.
Los métodos numéricos para EDOs no son exclusivos del análisis numérico: aparecen de forma transversal en estadística siempre que un fenómeno se modela como un proceso continuo en el tiempo y no existe solución analítica cerrada.
Ecuaciones diferenciales estocásticas (EDE)
La versión probabilística de una EDO es una EDE de la forma \(dY = f(t,Y)\,dt + g(t,Y)\,dW_t\), donde \(W_t\) es un proceso de Wiener (ruido). El método de Euler–Maruyama es directamente Euler aplicado a este contexto y es el esquema base para simular trayectorias de procesos estocásticos (movimiento browniano, modelos de precios, etc.).
Modelos epidemiológicos (SIR / SEIR)
Los modelos de propagación de enfermedades son sistemas de EDOs acopladas (susceptibles, infectados, recuperados). Como no tienen solución analítica general, se resuelven numéricamente con RK4 para estimar curvas de contagio, pico de infectados o efectividad de intervenciones — bases del análisis estadístico en salud pública.
Ajuste de modelos con EDOs (inferencia estadística)
En estadística bayesiana y máxima verosimilitud, es común ajustar parámetros de una EDO a datos observados. Para evaluar la función de verosimilitud se debe resolver numéricamente la EDO en cada iteración del optimizador, haciendo que Euler Mejorado o RK4 sean componentes internos de métodos como MCMC o el algoritmo EM.
Farmacocinética y modelos compartimentales
Los modelos de absorción y eliminación de fármacos se expresan como sistemas de EDOs lineales o no lineales. La estadística de ensayos clínicos (modelos de efectos mixtos no lineales, NLME) requiere resolver estas EDOs numéricamente para cada sujeto y cada propuesta de parámetros durante la estimación.
Dinámica de poblaciones y series de tiempo
Modelos como Lotka–Volterra (depredador–presa) o el crecimiento logístico son EDOs cuyas trayectorias se usan como señales de fondo en modelos de series de tiempo ecológicas o económicas. Los residuos respecto de la solución numérica son los que se modelan estadísticamente.
Procesos gaussianos con prior de EDO
En aprendizaje estadístico moderno, las EDOs se usan como priors estructurados sobre funciones. Resolver la EDO con RK4 proporciona la media del proceso gaussiano, y la incertidumbre se cuantifica estadísticamente alrededor de esa solución numérica. Es la base de los neural ODEs y la inferencia diferenciable.